Les probas et moi, cela fait 2.

Donc méfiance.

a(n+1) = a(n)*(1-p) + (1 - a(n))*p

a(n+1) = a(n)*(1 - 2p) + p
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Poser : v(n) = P.a(n) + Q

V(n+1) = P.a(n+1) + Q
V(n+1) = P.(a(n)*(1 - 2p) + p) + Q

V(n+1) = P.a(n)*(1 - 2p) + P.p + Q
V(n+1) = (1-2p)*[P.a(n) + (P.p + Q)/(1-2p)]

Si on avait (P.p + Q)/(1-2p) = Q, alors :
V(n+1) = (1-2p)*[P.a(n) + Q]
V(n+1) = (1-2p)*V(n)
et alors la suite Vn, serait une suite géométrique de raison (1-2p)

Si p est différent de 1/2 -->
(P.p + Q)/(1-2p) = Q
(P.p + Q) = Q(1-2p)
P.p = -2pQ
P = -2Q
exemple: Q = 1 et P = -2
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Donc on pose : v(n) = -2.a(n) + 1
Et on a Vn est géométrique de raison (1-2p) et de 1er terme = V(1) = 1 - 2.a(1)

Et a(1) = 1-p (car 0 est un nombre pair) --> V(1) = 1 - 2(1 - p) = 2p - 1

--> V(n) = (2p-1) * (1-2p)^(n - 1)

V(n) = -[(1 - 2p)^n]

v(n) = -2.a(n) + 1
a(n) = (1/2)*(1 - V(n))

a(n) = (1/2)*(1 + (1 - 2p)^n)
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je suis désolée mais je ne comprend pas votre raisonnement. Pourquoi : a(n+1) = (1-p) + (1-an)p ?
et si j'essaye de suivre votre raisonnement je n'arrive pas à conclure quelle est la probabilité de an. Faut-il discuter des différentes valeurs de p ?

Merci

a(n) est la proba d'avoir un nombre pair de fois Pile après n lancer.

--> (1-a(n)) est la proba d'avoir un nombre impair de fois Pile après n lancer.


Il y a donc 2 possibilatés pour avoir un nombre pair de fois Pile après (n+1) lancer

a)
On est à un nombre pair de fois Pile après n lancer et on fait Face au lancer (n+1)
--> proba que cela arrive: a(n) * (1-p)

b)
On est à un nombre impair de fois Pile après n lancer et on fait Pile au lancer (n+1)
--> proba que cela arrive: (1-a(n)) * p

--> La proba d'avoir un nombre pair de fois Pile après (n+1) lancer est : a(n)*(1-p) + (1 - a(n))*p

Et donc a(n+1) = a(n)*(1-p) + (1 - a(n))*p
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Avec un artifice (passer par une suite bien choisie vn qui est elle géométrique), on arrive à trouver l'expression de a(n) en fonction de n.

J'ai trouvé (voir ma réponse précédente) : a(n) = (1/2)*(1 + (1 - 2p)^n)

C'est l'expression demandée de la proba d'avoir un nombre pair de fois Pile après n lancer.
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Sauf distraction.  

Ah oui d'accord, j'ai compris le raisonnement !
Merci beaucoup de votre aide.