Bonjour à tous !

Je me suis lancée dans un problème sur les séries de Fourier et j'ai besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :

On note E l'espace des fonctions définies sur à valeurs complexes, périodiques de période 2 et de carré intégrable sur [0,2].
Pour fE et n on note cn(f) le n-ième coefficient de <fourier de f.
Soit T l'opérateur linéaire de <e dans lui même défini par:
Tf(x)=f(x+1) pour tout fE et x
Pour fE, on pose S₀f=0 et pour tout entier k1
S_kf= f + Tf + T²f + ...+ T^k-1f

1)
a- <caculer cn(Tf) et cn(S_kf) pour tous k0 et n en fonction des cn(f)

J'ai trouvé :
cn(Tf) = eⁱⁿ cn(f)
c0(Tf) = c0(f)
c0(S_kf) = k c0(f)
cn(S_kf) = e^ijn  cn(f)    (j allant de 0 à k-1)

puis je bloque !:

b- Montrer que lorsque f est un polynôme trigonométrique les moyennes (1/k) S_kf converge dans E vers la constante c0(f)

j'ai eu beau exprimer f sous la forme d'un polynôme caractéristique, je n'y arrive pas, pourriez vous m'aider ?

c- montrer que le norme de (1/k) S_kf  dans L(E) est inférieure ou égale à 1pour tout k1 et en déduire que le résultat b- reste vrai pour pour toute fonction f de E.