Bonjour !

Voilà un petit exercice fort sympathique sur les variables aléatoires (var) ! J'aimerai vraiment un peu de votre aide parce que j'ai beaucoup de mal avec les VAR. Je précise que je suis en deuxième année de prépa HEC.

Voici l'énoncé
Un commerçant se fournit auprès d'un grossiste pour constituer un stock au début de la saison 2002, lequel consiste en un certain nombre d'unités d'un produit de consommation.
Chaque unité vendu lui rapporte un bénéfice net de x euros, et chaque unité invendue engendre une perte de y euros.
Ce commerçant doit constituer un stock au début de la saison et désire déterminer la taille n de ce stock afin de maximiser son espérance de gain.
On admet que le nombre d'unités qui seront commandées à ce commerçant pendant la saison 2002 est une var à valeurs dans N, notée X.
On note Yn la var égal au gain (positif ou négatif) de ce commerçant à la fin de la saison 2002.
On désigne par U la VAR qui vaut 1 si X n et qui vaut 0 si X > n
On admet que c variables sont toutes définies sur le même espace probabilisé (,A,P)

1) en distinguant 2 cas selon la valeur de U, montrer que :
Yn = (xX - (n-X)y)U + nx(1-U) (je pense y avoir répondu )

2) a. Vérifier que la var XU prend ses valeurs dans {0,1,...,n}
   b. Exprimer sous forme de somme l'espérance de XU à l'aide de la loi de X
   c. Mq E(Yn) = (x+y)ⁿ_k=0 (k-n)P(X=k) + nx

On suppose que P(X=0) < x/(x+y)

3) a. Exprimer E(Yn+1) - E(Yn) en fonction de x,y et
P(X=k)
voilà ce que j'ai trouvé :
x-(x+y)nk=0P(X=k)
   b. Mq qu'il existe un unique entier naturel n0 tel que :
n0k=0P(X=k)< x/(x+y) et n0+1k=0P(X=k)x/(x+y)
   c. En déduire que ce commerçant est sûr de maximiser son espérance de gain, en constituant un stock de taille n1 = n0 + 1

4) Une étude statistique faite au cours des saisons précédentes permet d'affirmer que X suit une loi de Poisson de paramètre a, où a est un réel strictement positif.
a. Exprmier P(X=k+1) en fonction de P(X=k)
b. Utiliser ce résultat pour écrire un programme Turbo Pascal permettant de calculer et d'afficher n₁ lorsque l'utilisateur entre au clavier les valeurs de x,y et a.

Voilà, je vous remercie de votre aide !

Amicalement.
Apocasv.