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Problème sur Nombres Complexes

Posté par
pfff
02-05-20 à 22:40

Bonsoir j'allais presque finir ce problème mais je bloque sur l'avant dernière question. Merci pour votre aide

ÉNONCÉ

Dans le plan complexe rapporté à un repère \large ( O, \vec{u}, \vec{v} ) on appelle A, B, C les points d'affixes respectives Z_A = 1 + 2i , Z_B = 1, Z_C = 3i  et on considère la transformation  f qui a tout point  M d'affixe z fait correspondre le point M'=f(m) d'affixe :

                                            \huge z'=\frac{ (3+4i)z + 5\bar{z} }{6}

1. Déterminer les affixes des points A', B', C' images de A, B et C par f

2. On pose z= x +iy ( x et y réels). Déterminer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z'
.
3. Démontrer que l'ensemble des points invariants par f (c'est-à-dire tels que z' = z ) est la droite  d'équation Δ d'équation \huge y = \frac{x}{2}
Tracer Δ. Que remarque-t-on?

4. Démontrer que, pour tout point M  du plan, le point M' est sur la droite Δ .

5. Montrer que, pour tout complexe z , \huge \frac{z' - z}{z_A} = \frac{z +\bar{z} } {6} + i \frac{ z - \bar{z} }{3} (C'est ici que je bloque )
En déduire que \huge \frac{z' - z}{z_A} est réel.

6. Que peut-on en déduire pour les droites (MM') et (OA) ?

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:01

Bonsoir,

5) Ce n'est que du calcul:

   \dfrac{z'-z}{z_A}=\dfrac{z'-z}{1+2i}=\dfrac{-3+4i}{1+2i}\,z+\dfrac{5}{1+2i}\,\bar{z}

  Tu continues en mettant les deux fractions sous forme algébrique et tu regardes...

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:03

des erreurs:

   \dfrac{z'-z}{z_A}=\dfrac{z'-z}{1+2i}=\dfrac{-3+4i}{6(1+2i)}\,z+\dfrac{5}{6(1+2i)}\,\bar{z}

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:05

je n'ai pas compris ce que vous avez fait, et le 6 de z' ?

  \huge z'=\frac{ (3+4i)z + 5\bar{z} }{6}

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:06

J'ai rectifié une erreur au dessus.

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:10

vous avez mis - 3 + 4i au lieu de 3 + 4i je pense

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:13

Ce n'est pas une erreur:

  \dfrac{3+4i}{6}\,z-z=\dfrac{-3+4i}{6}\,z    après réduction au même dénominateur.

Posté par
Zormuche
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:14

le z est soustrait sous forme de (6z)/z

on a bien 3+4i - 6z = -3+4i

Posté par
Zormuche
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:14

je me rectifie moi même :

(3+4i)z - 6z = (-3+4i)z

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:22

Voici comment j'ai fait :

\dfrac{z'-z}{z_A} = [tex]\huge \frac{\frac{( 3 + 4i )z + 5\bar{z} } {6} - z}{ 1 + 2i}
                               = \huge \frac{ ( 3 + 4i )z + 5\bar{z} - 6z}{ 6 (1+2i )}

et c'est la que je suis bloqué

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:24

quand j'ai remplacé par x+iy j'ai pas pu trouver donc comment je dois procéder ?

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:26

Au numérateur, regroupe les termes en z

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:37

j'obtiens ça :

\huge \frac{ ( -3 + 4i )z}{ 6(1+2i) } + \huge \frac{5\bar{z}}{ 6(1+2i)}

Ah je comprends maintenant d'ou vient votre - vous avez fait ça hyper vite que j'ai rien vu venir . Sinon on fait comment pour la suite ?

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:38

La suite:

\dfrac{z'-z}{z_A}=\underbrace{\dfrac{-3+4i}{6(1+2i)}}_{\text{à mettre sous forme algébrique}}\,z\qquad+\underbrace{\dfrac{5}{6(1+2i)}}_{\text{à metttre sous forme algébrique}}\,\bar{z}

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:47

ok j'obtiens :

\dfrac{z'-z}{z_A} = [tex] \huge ( \frac{1}{6} + \frac{1}{3}i )z + \huge ( \frac{1}{6} - \frac{1}{3}i )\bar{z}

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 02-05-20 à 23:49

Oui mais regarde bien; tu es tout près du résultat demandé:

 \dfrac{z' - z}{z_A} = \dfrac{z +\bar{z} } {6} + i \,\dfrac{ z - \bar{z} }{3}

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:02

J'ai trouvé

\large ( \frac{1}{6} + \frac{1}{3}i )z + \large ( \frac{1}{6} - \frac{1}{3}i )\bar{z}
        
    = \large \frac{1}{6}z + \frac{1}{3}iz + \frac{1}{6}\bar{z} -\frac{1}{3}i\bar{z}
  
         = \large \frac{1}{6} ( z +\bar{z} ) + \frac{1}{3}i ( z - \bar{z})
        
              = \large \frac{ z +\bar{z} }{6} + i \frac{ z -\bar{z}}{3}

Vraiment Merci Beaucoup

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:05

De rien pfff

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:12

s'il vous plait la question qui suit dit : En déduire que En déduire que \huge \frac{z' - z}{z_A} est réel.

j'ai dit  \huge \frac{z' - z}{z_A} = \large \frac{2Re(z)}{6} + i\frac{2Im(z)}{3}
alors c'est un réel. C'est bon ?

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:16

Une petite erreur:

\dfrac{z'-z}{z_A}=\dfrac{1}{3}\,\Re(z)-\dfrac{2}{3}\,\Im(z)     (il n'y a pas de "i")

  qui est bien un réel.

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:19

ah oui i x i = -1 . C'est mieux ainsi;
La dernière elle est facile : les deux droites sont parallèles

Agréable nuit à vous  et encore merci.

Posté par
lake
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:24

Oui, (MM')//(OA)

Ce qui signifie que ta transformation de départ est la projection sur la droite \Delta d'équation y=\dfrac{x}{2} parallèlement à la droite (OA)

Si ton dessin est bien fait, les points A',B',C' sont obtenus par intersection des parallèles à (OA) menées par A,B,C avec la droite \Delta

et A'=O

Bonne nuit!

Posté par
pfff
re : Problème sur Nombres Complexes 03-05-20 à 00:31

effectivement.

Merci à vous aussi



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