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probleme sur une integrale généralisée!

Posté par Binouze_Flip (invité) 17-09-07 à 17:48

Bonjour,

J'étudie la nature de l'intégrale suivante :   \int_{0}^{+ \infty} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt

* la fonction étudiée est continue sur [0,1[ \cup ]1, + \infty[

* \int_{0}^{1} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt est divergente en remarquant que  f(t) ~ \frac{ln(2)}{(1-t)^2} au voisinage de 1 et en posant le changement de variable u = 1-t pour se ramener à une fonction qu l'on sait calculer.

* Le problème vient pour trouver la nature de \int_{1}^{+ \infty} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt

On doit découper cette intégrale et étudier séparément \int_{1}^{A} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt et   \int_{A}^{+ \infty} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt avec A > 1

1) \int_{A}^{+ \infty} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt ?

En utilisant un Dl en + \infty on obtient : \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2} ~ \frac{ln(t)}{t^2} + \frac{1}{t^3}

En intégrant par parties \int_{A}^{x} \frac{ln(t)}{t^2} dt j'obtiens finalement que \int_{A}^{+ \infty} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt converge.

2 ) \int_{1}^{A} \frac{ln(1+t)}{(1-t)^2}dt ? problème je trouve que ça diverge....

Conclusion : je ne peux pas conclure

Help !!

Merci

Posté par Binouze_Flip (invité)re : probleme sur une integrale généralisée! 18-09-07 à 12:54

Posté par
Ksilverre : probleme sur une integrale généralisée! 18-09-07 à 13:13

Salut !


l'intégral de 1 a x de ln(1+t)/(1-t)² est aussi une intgral généralisé, et elle est divergente exactement pour les meme raisons que celle de 0 a 1... (le probleme est pour x->1...)

Posté par
kaiser Moderateurre : probleme sur une integrale généralisée! 18-09-07 à 13:13

Bonjour Binouze_Flip

Non, tu ne te trompes pas, l'intégrale diverge. par contre :

1) pourquoi sépare-tu les deux morceaux ? En 1, il a de toutes façons un problème, que ce soit à gauche ou à droite. Dès le début, on s'aperçoit que ça ne va pas marcher (ton équivalent, marche des deux côtés).

2) tu disposes de critère (du genre Riemann) en l'infini. Pourquoi ne t'en sers-tu pas ? en l'infini, ta fonctio est "petit o" de \Large{t^{-\frac{3}{2}}} qui est intégrable en l'infini (grâce à Riemann).Bref, tu n'es pas obligé de redémontrer que certaines fonctions sont intégrables.

Kaiser

Posté par Binouze_Flip (invité)re : probleme sur une integrale généralisée! 19-09-07 à 12:18

Bonjour Kaiser

Oui tu as raison je me suis compliqué la tache alors qu'il n'y avait qu'à regarder la nature des 2 integrales, celle entre 0 et 1 et l'autre entre 1 et +. Pour le probleme en l'infini on peut effectivement pour t assez grand, majorer la fonction par t^{- \frac{3}{2}} et ainsi utiliser le critere de Riemann. Merci pour tes indications


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