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probleme trigonométrique

Posté par kidjuggy (invité) 04-09-04 à 17:01

voila jvien de rentrer en math sup et j'ai deja un probleme avec le travail que l'on ma donner :

Exercice I : Résoudre dans R les équations suivantes
1. tan(4x) tan(x+/4)=-1
2. 2(cos(5x)-sin(5x))-(cos(x)+3sin(x))=0

merci de m'aider

Posté par kidjuggy (invité)re : probleme trigonométrique 04-09-04 à 17:47

ca fait 2 heure que je passe a chercher comment resoudre cette exercice.

est ce que quelqu'un peut me donner une piste, une démarche a suivre pour résoudre mon pb

car je n'en peux plus.

Posté par tµtµ (invité)re : probleme trigonométrique 04-09-04 à 21:35

C'est de la trigo :

Le 1er se réécrit, si j'm'ai pas gouru, en :

sin(3x+Pi/4) / (cos(4x)cos(x+Pi/4)) = 0;


Pareil pour le 2ème j'imagine.

Posté par
dad97 Correcteurre : probleme trigonométrique 05-09-04 à 02:06

Bonjour,

Pour la première :

En utilisant tan X = \frac{sin X}{cos X} on a :

tan(4x) tan(x+/4)=-1 peut s'écrire :

sin(x)sin(x+pi/4)=-cos(x)cos(x+pi/4) et cos(x)cos(x+pi/4) non nul

sin(x)sin(x+pi/4)+cos(x)cos(x+pi/4)=0 et cos(x)cos(x+pi/4) non nul

Et en utilisant la formule trigo suivante :
sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b)=cos(a-b)

On se ramène à une équation trigonométrique basique.

Pour la seconde :


2(cos(5x)-sin(5x))-(cos(x)+3sin(x))=0

On divise par 2 dans les deux membres et 2/2=sin(pi/4)=cos(pi/4)

2cos(5x)/2-2sin(5x)/2=cos(pi/4)cos(5x)-sin(pi/4)sin(5x)
= cos(pi/4+5x)

de même en sachant que cos(pi/3)=1/2 et sin(pi/3)=3/2
(cos(x)/2+3sin(x)/2)=cos(pi/3)cos(x)+sin(pi/3)sin(x)
= cos(pi/3-x)

et donc en revenant à l'équation de départ on est ramené à résoudre :
cos(pi/4+5x)=cos(pi/3-x) équation trigonométrique basique.

J'espère que cela peut t'aider.

Salut



Posté par mat (invité)petit probléme 05-09-04 à 10:11

ds mon cours de sup il est écrit :
(cosx)^3=(cos(3x)+3cos(x))/4
et je comprend pas vraiment comment on en est arrivé là

Posté par mat (invité)re : probleme trigonométrique 05-09-04 à 10:12

ca serait sympa de me répondre

Posté par
Victorre : probleme trigonométrique 05-09-04 à 10:18

Bonjour mat,

On peut par exemple développer
(cos(x))^3=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2})^3

ou encore écrire
(cos(x))^3=(cos(x))(cos(x))^2
et développer cos²(x)=(cos(2x)+1)/2.

La première méthode est plus simple.

@+

Posté par
Nightmarere : probleme trigonométrique 05-09-04 à 11:51

Pour arriver à ce résultat , on utilise la premiére formule qu'a conseillé Victor sauf que je rectifi un peu :
cos^{3}(x)=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^{3}

On développe grace au binome de newton et on a :
(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^{3}=\frac{1}{8}(e^{3ix}+3^{2ix}\times e^{-ix}+3e^{ix}\times e^{-2ix}+e^{3ix})=\frac{1}{8}(e^{3ix}+e^{-3ix}+3(e^{ix}+e^{-ix})

En utilisant la formule : e^{ipx}+e^{-ipx}=2cos(px)
on a :
\frac{1}{8}(e^{3ix}+e^{-3ix}+3(e^{ix}+e^{-ix})=\frac{1}{4}(cos(3x)+3cos(x))
qui est bien le résultat demandé .

Posté par
dad97 Correcteurre : probleme trigonométrique 05-09-04 à 12:18

Bonjour,

on peut aussi écrire :

cos(3x)+3cos(x)=cos(2x+x)+3cos(x)
=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)+3cos(x)
=(2cos²(x)-1)cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x)+3cos(x)
=2cos3(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x)+3cos(x)
=2cos3(x)-cos(x)-2(1-cos²(x))cos(x)+3cos(x)
=4cos3(x)

Voilà c'est montrer l'égalité sans les formules d'Euler.

Salut

Posté par kidjuggy (invité)re : probleme trigonométrique 05-09-04 à 15:52

voila pour mon equation 2 je trouve x=17/48 []   ou   x=25/72 []

sinon pour l'equation 1 je n'y arrive tjs pas meme avec tes indications dad97. de plus je ne comprend pas comment tu passes de la premiere a la deuxieme ligne :

"tan(4x) tan(x+/4)=-1 peut s'écrire :

sin(x)sin(x+pi/4)=-cos(x)cos(x+pi/4) et cos(x)cos(x+pi/4) non nul"

si on peut me dire si j'ai bon a la deuxieme equation, et si on peut m'éclairer sur la premiere se serai cool
merci

Posté par
dad97 Correcteurre : probleme trigonométrique 06-09-04 à 11:42

Rebonjour,
c'est normal que tu ne comprennes pas (y a boulettes ), il fallait lire :

tan(4x) tan(x+/4)=-1 peut s'écrire :

sin(4x)sin(x+/4)=-cos(4x)cos(x+/4) et cos(4x)cos(x+/4) non nul(pourquoi cette deuxième condition car l'expression avec la tangente de départ ne serait pas définie)

sin(4x)sin(x+/4)+cos(4x)cos(x+/4)=0 et cos(4x)cos(x+/4) non nul

Et en utilisant la formule trigo suivante :
sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b)=cos(a-b)

On se ramène à une équation trigonométrique basique:
cos(4x-(x+/4))=0
cos(3x-/4)=0
donc 3x-pi/4=/2+k k entier
donc x = /4+k/3.

En revenant au problème il faut enlever toutes les solutions trouvées ci-dessus pour lesquelles cos(4x)cos(x+/4)=0.

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : probleme trigonométrique 06-09-04 à 16:15

Rebonjour,

pour ce qui est de la première je trouve :

x=\frac{17\pi}{48}[\frac{\pi}{2}] ou x=\frac{25\pi}{72}[\frac{\pi}{3}]

Salut

Posté par kidjuggy (invité)re : probleme trigonométrique 07-09-04 à 16:43

je te confirme que tu as bon dad97 pour la 1e et la 2e equation
je me suis penché sur ce que tu avaient mis avant comme indication et j'ai tout retravailler et j'en suis arriver aux meme point que toi.

de plus j'avais pas vu a la 1e equation que les resulats pour cos(4x)cos(x+/4)=0 devaient etre enlevé. tu viens encore de m'éviter de faire des erreurs.

encore merci pour ton aide  


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