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Problèmes d applications linéaires

Posté par Yaya13 (invité) 20-02-05 à 15:47

Bonjour tout le monde
J'espère que vous profitez tous des vacances!
Moi je bloque sur cette question toute bête je sais, mais je ne parviens pas à la faire.
Si qqn pouvait m'aider ce serait gentil.
Merci d'avance!

Soit a et b deux scalaires fixés distincts.
Soit E un K-ev(non nécessairement de dimension finie).
Soit f L(E) tel que
          (f-a*Id)°(f-b*Id)=0
on note p=(1/(b-a))*(f-a*Id)
        q=(1/(a-b))*(f-b*Id)

a) montrer que p2=p , q2=q , p°q=0 , q°p=0

Posté par jean-émile (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 17:31

Slut ,

essaie de développer p^2 - p

Posté par Yaya13 (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 18:54

coucou jean-émile
j'ai déjà essayé de faire ca mais je ne parviens pas à trouver p2-p = 0

Posté par jean-émile (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 19:19

Tu dois trouver :

a )

p^2 - p = (-1/(b-a)^2)*(f - a*I)°(f - b*I) = 0

b)

Pour p°q , le résultat est presque immédiat

Posté par Yaya13 (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 19:28

je ne comprend pas comment vous parvenez à faire apparaître (f-b*Id)? alors que q n'intervient pas
pourriez vous m'expliquer svp?

Posté par Yaya13 (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 19:41

je trouve
p2-p = [ (1/(b-a))*(f-a*Id) ]*[ (1/(b-a))*(f-a*Id)-1 ] = [ (1/(b-a))*(f-a*Id) ]*[ 1/(b-a))*((f-a*Id)-b+a) ] = [ (1/(b-a))*(f-a*Id) ]*[ 1/(b-a))*(f-a*Id-b+a) ] = [ (1/(b-a))2*(f-a*Id) ]*[ f-a*Id-b+a ]

mais là je suis bloquée je ne parviens pas à trouver (f-b*Id)

Posté par jean-émile (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 19:51



je trouve
p^2 - p =

(1/(b-a)^2) * (f-a*I)^2 - 1/(b-a) * (f-a*I) =

(1/(b-a)^2) * (f-a*I)^2 - (b-a)/(b-a)^2 * (f-a*I) =

(1/(b-a)^2) * ((f-a*I)^2 - (b-a)*(f-a*I)) = etc ...


Posté par jean-émile (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 19:57

Remarque :

on "développe" ainsi car il s'agit d'applications linéaires

sinon on ne pourrait pas

Posté par Yaya13 (invité)re : Problèmes d applications linéaires 20-02-05 à 20:02

merci jean-émile
grâce à votre aide j'ai réussi à montrer que p2=p
pour le reste le calcul est certainement similaire
merci encore

Posté par Yaya13 (invité)re : Problèmes d applications linéaires 22-02-05 à 11:18

[/sup]Bonjour
je bloque sur une question sur les matrices qui concerne toujours cet exercice sur les applications linéaires
si vous pouviez m'aider merci bcp

soit m * et soit A Mm(K)
on suppose qu'il existe deux scalaires a et b distincts tels que : (A-a*Im)(A-b*Im) = 0
on note P = (1/(b-a))*(A-a*Im)
Q = (1/(a-b))*(A-b*Im)

donner sans justification l'expression de A[sup]n
en fonction de P Q a b et n
ca c'est bon je l'ai fait c'est en rapport avec des questions précédentes que je n'ai pas écrites.
                  (0  2  -4)
soit A = 1/2  (3 -5  12)  
                  (2 -4   9)
(c'est une matrice je ne sais pas comment faire de grandes parethèses désolé)
-montrer que (A-13)(A-(1/2)I3)=0
celle là c'est bon mais c'est la suivante qui me bloque
-calculer, pour tout n *, la matrice An
je ne vois pas comment faire de plus j'ai besoin de ce résultat pour continuer l'exercice
si vous pouviez me donnez quelques indications ce serait gentil à vous



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