bonsoir
supplementaire dans M_n()

1ere etape : montrons que ()A_n()={0}

soit M()(
alors
=M  (car M()
et  =-M (car M()

ainsi M= -M donc M=(0) (matrice nulle)

donc comme (0)()A_n()

alors ()A_n()={0}

2eme etape : montrons que +=
soit M
on cherche a ecrire M sous la forme M=A+S (1) avec A et S

nous avons ==+ (car la transposée est une appli lineaire)
donc = -A+S (2) (car A antisymetrique et S symetrique)

(1)+(2) : on obtiens
(1)-(2) : on obtiens  A =

donc voilà l'ecriture de M et elle est unique
conclusion : S et A sont supplementaires

Merci beaucoup aicko! Ta réponse est super claire, et je comprend mieux maintenant. Par contre, pour prouver que An et Sn sont orthogonaux, est-ce que de faire le produit scalaire entre un elt de Sn et un elt de An et de montrer qu'il est nul suffira?
Merci encore.

Bonjour Evgueny;
Soit on a en utilisant des propriétés de la trace:
d'où: ce qui veut dire que les 2 sous-espaces et sont bien orthogonaux pour ce produit scalaire et comme:
l'un est le supplémentaire orthogonal de l'autre.