Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Problemes de géometrie avec mise en équation
Bonjour à tous,
J'espére que je ne me suis pas trompé de section.
Voici pas mal de temps que je planche sur ces quelques problémes géometriques avec mise en équation, la géometrie n'a jamais été mon forrt mais toujours en est il que ca ne ressemble à rien que je ne connaisse et malgrés mes recherches je n'aboutis toujours pas.
*************************************
Exo
*************************************
I)
On considère des rectangles ABCD inscrit dans un demi-cercle de rayon 1 et de centre O comme illustré ci-dessous : [DC] sur le diamétre et A,B sur le cercle
On appelle x la longueur OC
a) Exprimez en fonction de x l'aire du rectangle ABCD
b) Donnez les domaine de définition correspondant à la situation étudiée
A l'aide de la calculatrice vérifiez qu'il existe une valeur de x pour lquelle l'aire est maximale. On donnera une valeur approchée de x et de ce maximum.
c) Existe-til u nargument géométrique qui donne la valeur exacte ?
II)
On considére un rectangle ABCD tel que AB=4cm et AD=3cm.
On considére un point variable M sur la diagonale [AC]. On pose x=AM
Exprimez en fonction de x l'aire du domaine polygonale ABMD.
III)
On considére un trapèze de petite base AB=2cm et de grande base CD=3cm.
On pose h pour la hauteur correspondante. SOit I l'intersection des 2 diagonales.
Les 2 diagonales partagent l'intérieur du trapèze en 4 triangles.
a) Exprimez l'aire de chacun de ces triangles en fonction de h.
b) Vérifiez que le rapport de chacune à l'air totale est indépendant de h.
(Indication : Commencez par les 2 triangles de base AB et CD et pensez au théoreme de Thalès)
*************************************
Ce que j'ai tenté
*************************************
Pour le I) J'ai exploré la piste du 2x² pour exprimer l'aire de ABCD mais a la calculatrice cela me donnait une courbe bizzare lors de la représentation graphique pour le domaine de définition que j'avais choisi [0;1] qui je suis sûr est d'ailleur faux.
Pour le II) Je bloque carremement sur le moyen de calculer l'aire des deux triangles qui forment ce domaine polygonale, je n'arrive pas à trouver la relation avec x.
POur le III) Je bloque carrement sur le a) et la facon d'exprimer la hauteur
********************* ******************
Merci d'avance pour votre aide,
Bonjour,
pour le I), pour calculer l'aire, tu as besoin, par exemple, de connaître BC et DC.
Si tu te places dans le triangle OBC, qui est rectangle en C. On a OC=x et OB=1 ... tu peux alors trouver la valeur de BC, non ? (avec un célèbre théorème 
)
Ensuite, O est le milieu de [DC] (à prouver, si tu ne l'as pas déjà fait), donc DC=2*OC=2x ....
Et tu trouves alors l'aire en faisant A=BC*DC.
Sinon, pour l'ensemble de définition, tu as juste : le point C se ballade entre O (x=0) et un rayon (x=1). Donc ton ensemble de définition est [0;1]
ManueReva
pour le II), Si tu considère le triangle AMB, soit H le pied de la hauteur issue de M. L'aire de ce triangle est égale à MH*AB. On connaît AB mais pas MH. Essayons de trouver sa valeur en fonction de x :
Dans le triangle ABC, (HM)//(BC) car elles sont toutes les deux perpendiculaire à (AB). En utilisant le théorème de Thalès, on a :
. Or on connaît AM=x, BC=3 et AC peut être calculé par le théorème de Pythagore ... et enfin tu peux trouver HM en fonction de x.
même chose pour le triangle AMD
Merci pour cette réponse rapide 
Malheuresement dans l'énoncé il n'est fait nul part mention de longueurs si ce n'est le demi cercle de rayon 1. Je ne pense pas que l'on doit calculer l'aire juste l'exprimer en focntion de x.
Pour ce qui est calculer BC je suppose que vous faites réference à Pythagore .
(tu peux me tutoyer )
(pour le I)
alors, regarde le dessin ci-dessous.
Le point B appartient au demi-cercle de centre 0 et de rayon 1, cela veut dire que OB=1.
Ensuite, tu as OC=x par définition.
Donc, comme tu l'as deviné, en utilisant le théorème de Pythagore, on a BC²+OC²=OB². Donc BC²=OB²-OC². Donc BC²=1²-x²=1-x², conclusion : BC=
(1-x²).
Ensuite, O est le milieu de [DC]. En effet, comme A et B sont sur le demi-cercle, O appartient à la médiatrice de [AB]. Comme ABCD est un rectangle, la médiatrice de [AB] est aussi celle de [DC]. Donc O appartient à la médiatrice de [DC]. Or O appartient au segment [DC]. Conclusion : O est le milieu de [DC].
Donc on a DC=2*OC=2x
L'aire de ABCD est donc égale à Aire=BC*DC=2x(1-x²)
Pour le I)
Je viens de regarder tout ceci et ca me parait déjà plus clair
J'ai rentré la formule 2x(1-x²) dans la calculatrice avec pour Xmin=0 et Xmax=1 (domaine de définition) et grâce à la fonction trace je trouve pour maximum en y=0.99990153 et x=0.70212766.
En ce qui concerne un éventuel argument géometrique qui permetterait de donner la valeur exacte de l'aire, a moins de connaitre certaines longeurs cela me parait impossible.
Je vais de ce pas regarder de plus prés le II) et ta réponse précedente.
Merci encore,
Annuler
connectez vous