Pourriez voius m'aider a résoudre ces deux exercices svp? merci


I)

On pagine de 1 à 999 les feuilles d'un registre.
1. Combien (d'occurrences) de chiffres a t'on écrit :
-en tout ?
-de chaque chiffre ?
2. Le vent ouvre le régistre au hasard. X est le nombre aléatoire (d'occurences) de chiffres du numéro de la feuille sélectionnée.
.Définir la loi de X.
Calculer E(X)
Quelle est la probabilité que le numéro sélectionné contienne au moins une occurrence du chiffre 1 ?

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II)
Dans une urne il y a 5 boules: 2 blanches et 3 noires.
On considére une suite d'expériences successives indépendantes et semblables à la suivante: on extrait une boule au hasard de l'urne puis on la remet dans l'urne avec une boule semblable (i.e. de même couleur).
L'état (i.e. la composition) de l'urne évolue: après chaque expérience le contenu de l'urne augmente d'une boule blanche ou noire selon le résultat du tirage; on notera x_i et y_i les nombres respectifs de boules blanches et noires dans l'urne à l'issue de la ie expérience, i*. On désignera par (x_i, y_i) (ou x_iy_i) l'état de l'urne à l'issue de la ie expérience. Ainsi (2,3 ) (ou 23) est l'état initial, (2,4 ) (ou 24) et (3,3 ) (ou 33) sont les états à l'issue de la 1e expérience, ...
On désignera par X_i et Y_i les nombres aléatoires respectivement de boules blanches et noires dans l'urne à l'issue de la ie expérience.
1. Construire le graphe stochastique associé à la suite des 3 premières expériences.
2. Calculer P(B_i) pour i {l, 2, 3} où B_i est l'événement "le ie tirage amène une boule blanche".
Conjecturer la valeur de P(B_i) pour tout i (ce résultat pourrait être démontré par récurrence).
3. Le 2e tirage amène une boule blanche, quelle est la probabilité qu'il en soit de même au 3e tirage ?
4. Le 3e tirage amène une boule blanche, quelle est la probabilité qu'il en ait été de même au 2e tirage ?
5. Déterminer la loi de X_i et calculer E(X_i) pour i {l, 2, 3} .En déduire E(Y_i) pour i {l, 2, 3}.
6. Calculer les ratios E(X_i) / E(Y_i) pour i {l, 2, 3} .
Conjecturer la valeur du ratio E(X_i) / E(Y_i) pour tout i (ce résultat pourrait être démontré par récurrence)
Sous l'hypothèse de l'exactitude de cette conjecture, prédire les valeurs de E(X_i) pour tout i. Application: prédire les valeurs de E(X₄) et de E(X₅) .