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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
processus autorégressif
Posté par dododod
Bonjour,
J'ai quelques difficultés à résoudre cet exercice :
On définit un processus autorégressif de type
AR(1) comme suit :
avec
\varepsilon (t) suit une loi normale N(0,1)
À un moment quelconque t , on a que X (t) = 4 et qu'il y a
50% de probabilité que le processus augmente en valeur à la période suivante. Trouvez \beta
Pour cela j'ai déterminé :
Et par récurence on a :
Cependant, je n'arrive pas à savoir comment poursuivre.
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Je vous remercie !
P(X(t+1) > X(t) | X(t)=4) = P(X(t+1) > 4 | X(t)=4)
Maintenant remplace X(t+1) par son expression en fonction de X(t), puis X(t), et en faisant attention à un détail sur la loi conditionnelle de ϵ, tu vas pouvoir trouver une équation très simple qui ne fait apparaitre que β et la fonction de répartition de la loi normale. Tu pourras ensuite la résoudre et trouver β 
Bonjour,
je vous remercie pour votre réponse.
Après développement, j'obtiens :
Puis, avec la fonction de répartition de epsilon, j'arrive à :
Est-ce exact ?
Mais je ne vois pas comment obtenir beta ensuite
Oui, mais pas besoin de la fonction erf. La loi de ϵ est assez simple, c'est une N(0,1).
Regarde la courbe représentative de sa densité et l'aire sous elle. L'aire de -∞ à +∞ vaut exactement 1.
Quel est l'unique réel x où l'aire entre -∞ et x vaut exactement 1/2 ?. Qu'est-ce que cette aire représente en termes de fonction de répartition ? Conclusion ?
Ah du coup c'est parce que comme c'est une loi centrée réduite donc il y a une symétrie par rapport à 0. Sa fonction de répartition pour x<0 vaut 1/2.
C'est bien ça ?