Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Processus de Poisson

Posté par
DDb 07-10-23 à 01:49

Bonjour,

J'ai un exercice sur lequel je rencontre quelques difficultés :

Considérez un processus de Poisson homogène
\left\{N(t); t \geq 0 \right\} avec paramètre \lambda

Si S_i représente le temps où se produit le i-ème événement de ce
processus, T_i représente la durée entre deux évènements ( T_i = S_i _ S_(i-1) ) et 0<u<t évaluez E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2)

Pour cela, j'ai calculé :
P(S_1 = u , N(t) = 2) = P(T_2< t-u, S_3 > t) = P(T_2 < t-u) P(T_3> t_u) = ( 1- exp (-\lambda (t-u)) exp (-\lambda (t-u)
(par propriétés et independence des T_i)

donc :

E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2) = \int_{u}^{2}{k \frac{f_S2}{f(s1 = u, N = 2)}} = \int_{u}^{2}{k*\frac{\lambda exp(-\lambda *k)}{exp(-\lambda (t-u) (1- exp(-\lambda (t-u))}}

Je ne suis pas sûre du tout de la démarche, est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Je vous remercie !

Posté par
malou Webmasterre : Processus de Poisson 07-10-23 à 15:40

Bonjour
Merci de respecter le règlement

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 07-10-23 à 15:59

Veuillez m'en excuser !

malou edit > Vu, merci

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 07-10-23 à 18:55

En particulier je me demandais si cela est exact :
P(T_2< t-u, S_3 > t) = P(T_2 < t-u) P(T_3> t_u)

Je vous remercie

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 13:19

Bonjour,

Personne ?

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 16:49

Bonjour,
Non, ce n'est pas exact. Fais un petit dessin sur l'échelle des temps.

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:05

Merci pour votre réponse.

Sur une échelle de temps, ça donnerait que S_2 se situe entre u et t.
Du coup j'obtiens :

E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2) = \int_{u}^{2}{ k P(T_2 = k-u) dk} = \int_{u}^{2}{ k \lambda exp(-\lambda (k-u)) dk}

donc E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2) = [tex]u + 1/\lambda - exp(\lambda (u-2)) (2 + 1/\lambda )

est-ce exact ?

Je vous remercie !

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:09

Non, ça ne va pas.
S_2 se situe certes entre u et t (donc T_2\leq t-u), mais tu oublies que S_3 se situe après t (donc T_2+T_3 > t-u).

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:17

Par ailleurs, es-tu sûr de ton énoncé ? S_1=u a une probabilité nulle, donc quelque chose cloche !

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:28

Je joins l'énoncé de la question de l'exercice.

Processus de Poisson

** image agrandie**

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:31

Désolée pour le rendu du message précédent...
Cependant, je ne vois pas pourquoi S_1 = u aurait une probabilité nulle ?

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:39

En refaisant alors les calculs j'obtiens :
P(S_2|S_1=u, N(t) = 2) = P(T_2<t-u) P(T_2+T_3 >t-u) = P(T_2<t-u) P(S_3>t) = (1- exp(-\lambda (t-u)))* exp(-\lambda (t-u)) (1+\lambda (t-u) + \frac{\lambda ^2}{2} (t-u)^2))

Donc ça donne finalement
P(S_2|S_1=u, N(t) = 2) = exp(-\lambda (t-u))(1+2\lambda (t-u) + \lambda ^2 (t-u)^2)

c'est exact ?

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:39

Décidément, tu collectionnes les énoncés foireux !
Vrai, tu ne vois pas pourquoi la probabilité de l'événement S_1=u (le 1er événement du processus se produit précisément à l'instant u, pas avant, pas après) est nulle ? Combien y a-t-il d'instants possibles ?

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:46

Oui mais S_n ne suit-il pas une loi gamma de paramètre (n, lambda) ?

et  pour le premier évènement  S_1 = T_1, donc suit une loi exponentielle.
Donc je pensais que P(S_1=u) = \lambda exp(-\lambda u)

Mon raisonnement n'est pas bon ?

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 17:59

Oh la! Tu confonds probabilité et densité.

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 18:05

Ah oui oui du coup on intègre que sur "un point" donc ok je vois pourquoi la probabilité est nulle !
Mais alors comment modifier l'énoncé pour que je puiss quand même réfléchir dessus ?

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 18:06

On peut mettre S_1 >u comme ça la proba  n'est pas nulle

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 20:39

Oui, mais c'est un autre problème. En fait le temps d'arrivée du premier événement du processus n'a pas d'importance dans l'histoire, la seule chose qui compte est la différence v=t-u
Ce qui ne pose pas de problème et qui revient à ce que la personne qui a posé l'exercice avait sans doute en tête, c'est de calculer \mathbf E(S_1 \mid N(v)=1).

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:06

Alors dans ce cas, si on pose v=t-u, on a :

\mathbf E(S_1 \mid N(v)=1) = \int_{0}^{1}{k* 1/v dk} = \frac{1}{2(t-u)}

C'est exact ?

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:09

Tu explques ce que tu fais ?

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:15

Ah non je me suis trompée, la borne supérieure de l'intégrale est v :

\mathbf E(S_1 \mid N(v)=1) = \int_{0}^{v}{k * f(S_1 = k | N(v) = 1) dk}

Or  f(S_1 = k | N(v) = 1) = 1/v (théorème)

Donc
\mathbf E(S_1 \mid N(v)=1) = [tex]\int_{0}^{v}{k * 1/v) dk} = \frac{t-u}{2}[/tex]

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:26

J'aime mieux ça. Le théorème que tu utilises court-circuite le calcul.

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:31

Oui en effet, ça court-circuite le calcul, mais j'ai la démo de ce théorème dans mon cours et je l'ai compris.

Merci beaucoup pour votre aide !!

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 08-10-23 à 21:53

Avec plaisir.

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 19-10-23 à 16:46

Bonjour,

Juste ne faudrait-il pas ajouter u à la réponse précédente car on a pris pour nouvel origine u ?
Donc n'aurait-on pas :
E(S_2 | S_1 = u, N(t) = 2) = (t-u)/2 + u ?

Je vous remercie

Posté par
GBZMre : Processus de Poisson 19-10-23 à 17:42

Oui  bien sûr, pour la réponse à la question initiale. Ce qui fait (t+u)/2.

Posté par
DDbre : Processus de Poisson 19-10-23 à 17:52

Parfait, merci beaucoup !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !