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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Processus de Poisson

Posté par
DDb
21-10-23 à 12:27

Bonjour,

J'ai quelques difficultés à résoudre cet exercice :
Soit {N(t);t ≥ 0} avec paramètre λ,
et s < t  déterminer  E(N(s)|N(t) = 2).

Voila ce que j'ai fait :
On a :
P(N(s) = 1|N(t) = 2) = P(N(t − s) = 1) = exp(−λ(t − s))λ(t − s)
On a aussi :
P(N(s) = 2|N(t) = 2) = P(N(t − s) = 0) = exp(−λ(t − s))
Ainsi, en conclusion,
E(N(s)|N(t) = 2) = exp(−λ(t − s)) ∗ (λ(t − s) + 2)

Est ce que le raisonnement semble juste ?

Je vous remercie.

Posté par
Ulmiere
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:06

Tu conditionnes par rapport au futur, alors il faut faire un peu attention au niveau licence

P(N_s = 1 | N_t = 2) = \dfrac{P(N_s = 1, N_t = 2)}{P(N_t = 2)} = \dfrac{P(N_s = 1)P(N_t = 2 | N_s = 1)}{P(N_t = 2)} = 2\dfrac{(\lambda s)e^{-\lambda s}}{(\lambda t)^2e^{-\lambda t}}P(N_t = 2 | N_s = 1) = \dfrac{2s}{t^2}e^{\lambda (t-s)}(t-s)

Posté par
DDb
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:30

Merci pour votre réponse.

Du coup on aurait aussi :

[tex]P(N_s = 2 | N_t = 2) = \dfrac{P(N_s = 2, N_t = 2)}{P(N_t = 2)} = \dfrac{P(N_s = 2)P(N_t = 2 | N_s = 2)}{P(N_t = 2)} = \dfrac{(\lambda s)^2e^{-\lambda s}}{(\lambda t)^2e^{-\lambda t}}P(N_t = 2 | N_s = 2) = (\frac{s}{t})^2
est ce exact ?

Posté par
DDb
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:33


Désolée pour le précédent message qui est mal sorti :

P(N_s = 2 | N_t = 2) = \dfrac{P(N_s = 2, N_t = 2)}{P(N_t = 2)} = \dfrac{P(N_s = 2)P(N_t = 2 | N_s = 2)}{P(N_t = 2)} = \dfrac{(\lambda s)^2e^{-\lambda s}}{(\lambda t)^2e^{-\lambda t}}P(N_t = 2 | N_s = 2) = (\frac{s}{t})^2

Posté par
DDb
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:35

Et donc :

E(N(s)|N(t) = 2) = \dfrac{2s}{t^2}e^{\lambda (t-s)}(t-s) + 2 (\frac{s}{t})^2

est ce bien correct ?

Je vous remercie

Posté par
Ulmiere
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:56

Je me suis planté dans mon petit calcul, l'exponentielle dans P(N_{t-s} = 1) = e^{-\lambda (t-s)}(t-s) se simplifie avec celle qui vient du rapport d'exponentielles.

Du coup, si on ne s'est pas trompé, ça donne 2(s/t) (1-s/t) + 2(s/t)^2 = 2(s/t)(1-s/t + 2(s/t)) = 2(s/t)(1+s/t)

Posté par
Ulmiere
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 13:58

Il manque un lambda dans mon dernier message : e^{-\lambda (t-s)}\lambda(t-s). Lui aussi se simplifie avec le lambda/lambda²

Posté par
Ulmiere
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 14:01

Désolé triple post, je suis vraiment à côté de la plaque désolé.
Si un modérateur peut passer et tout fusionner, ce serait sympa

J'ai laissé un 2(s/t) mais c'est bien sûr faux, le 2 étit déjà en facteur. Il ne reste que 2(s/t)

Posté par
DDb
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 14:18

Parfait, je vous remercie !

Posté par
Ulmiere
re : Processus de Poisson 21-10-23 à 14:29



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