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Processus stochastique
Posté par toureissa
Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide sur cet exercice.
Exercice :
On considère la marche aléatoire sur les entiers avec probabilités de transition données par:
Pi,i+1=p. Pi,i-1=1-p,
.avec 0<P<1.
(a) Déterminer et en déduire que tous les états communiquent entre eux.
(b) Montrer que les états de la marche aléatoire ne peuvent être récurrents positifs en utilisant la formule de Stirling.
Pour la question la matrice est un peu complexe que je n'y arrive pas élever en puissance. Je ne vois pas un astuce Particulier pour y arriver.
Merci de m'aider
salut
un p, un P, une matrice ... mais qui sont-ils ?
et pourquoi l'exposant entre parenthèses ?
un énoncé bien incomplet ...
C'est vrai, on a 0<p<1. p est la proba de transition de i à i+1. P est la matrice de transition de la chaîne. Quant P(n) c'est la matrice de transition en n pas qui correspond à Pn. Donc en quelques sorte je dois calculer Pn.
P n'est pas une matrice dans ton cas, mais un opérateur 
Pour calculer , tu as par exemple deux façons de faire
1) utiliser la proriété de Markov (faible) et écrire en préconditionnant par rapport à la loi de
2) savoir exprimer lorsque A est une matrice et constater que P n'a qu'un nombre fini de coefficients non nuls sur chaque ligne et colonne, donc que l'expression pour la matrice A est aussi valable pour l'opérateur P.
Bonjour,
ne dépend que de
et de
: c'est la probabilité de se déplacer de
vers la droite en faisant
pas si
et de
vers la gauche si
.
Exemple si et
: on a fait forcément 5 pas vers la droite et 2 vers la gauche. La probabilité n'est pas très compliquée à calculer. Si
et
, la probabilité est encore moins compliquée à calculer. Tu vois pourquoi ?
Ulmiere @ 06-09-2023 à 14:16
P n'est pas une matrice dans ton cas, mais un opérateur
Pour calculer})
, tu as par exemple deux façons de faire
1) utiliser la proriété de Markov (faible) et écrire)
en préconditionnant par rapport à la loi de 
2) savoir exprimer_{i_0,i_{n+1}})
lorsque A est une matrice et constater que P n'a qu'un nombre fini de coefficients non nuls sur chaque ligne et colonne, donc que l'expression pour la matrice A est aussi valable pour l'opérateur P.
P n'est pas une matrice dans ton cas, mais un opérateur
Pour calculer
1) utiliser la proriété de Markov (faible) et écrire
2) savoir exprimer
Merci . Quelle est la différence entre un opérateur et une matrice ?
GBZM @ 06-09-2023 à 16:07
Bonjour,
} )
ne dépend que de 
et de 
: c'est la probabilité de se déplacer de vers la droite en faisant pas si 
et de 
vers la gauche si 
.
Exemple si
et 
: on a fait forcément 5 pas vers la droite et 2 vers la gauche. La probabilité n'est pas très compliquée à calculer. Si 
et , la probabilité est encore moins compliquée à calculer. Tu vois pourquoi ?
Bonjour,
Exemple si
Bien compris.
Tout depend de l'écart et du signe de |j-i| et de n.
En effet si
Par contre si
Merci beaucoup
toureissa @ 15-09-2023 à 06:57
Bien compris.
Tout depend de l'écart et du signe de |j-i| et de n.
En effet si
il n'y a aucune chance de passer de i à j en n pas.
Par contre si
on fait
pas pour aller d'un côté et 
de l'autre côté. Mais comme les probabilités de transition pour aller à gauche et à droite ne sont pas forcément les mêmes, il convient de distinguer deux cas en fonction du signe de 
. Par suite le calcul se fait facilement : }=p^{\beta_{ij}}(1-p)^{\alpha_{ij}}.1_{j\geq i}+p^{\alpha_{ij}}(1-p)^{\beta_{ij}}.1_{j<i})
Merci beaucoup
GBZM @ 06-09-2023 à 16:07
Bonjour,
ne dépend que de et de : c'est la probabilité de se déplacer de vers la droite en faisant pas si et de vers la gauche si .
Exemple si et : on a fait forcément 5 pas vers la droite et 2 vers la gauche. La probabilité n'est pas très compliquée à calculer. Si et , la probabilité est encore moins compliquée à calculer. Tu vois pourquoi ?
Bonjour,
Exemple si
Bien compris.
Tout depend de l'écart et du signe de |j-i| et de n.
En effet si
Par contre si
Merci beaucoup
Il n'y a aucun intérêt à recopier les messages, ça ne fait qu'alourdir inutilement le fil.
Et je trouve que tu n'as pas bien compris, en fait.
Quel est le nombre de façons de se déplacer de k mètres sur la droite en faisant n pas d'un mètre (vers la droite ou la gauche) ? Une façon de se déplacer est une suite de n "pas à droite" ou "pas à gauche".
Tu es sur une grille entière.
Les pas autorisés sont (i,k) --> (i+1,k+1) (monter d'une case et aller à droite d'une case) et (i,j) --> (i-1,j+1) (monter d'une case et aller à gauche d'une case).
Tu pars de (0,0) et tu veux aller en (k,n) - en n pas donc puisqu'on monte de 1 case à chaque fois. Combien y a-t-il de façons de le faire ? Autrement dit, peux-tu compter le nombre de suites de n pas qui t'amènent de (0,0) à (k,n) .
J'attends le résultat en fonction de n et k.
Tu peux commencer petit :
combien de façons d'aller de (0,0) à (2,4) ? à (-1,4) ? Fais des dessins sur une grille !
Bonjour,
En poursuivant cette procédure, en n étape on atteindra sûrement la deuxième coordonnée de (k,n). Ensuite , étant donné qu'un déplacement à droite augmente la première coordonnée de 1 et un déplacement à gauche l'augmente de (-1), en notant q le nombre de déplacement à gauche pour atteindre la première coordonnée k, on trouve q=(n-k)/2.
Ainsi si n-k est impair, il n'y aura aucune possibilité. Par contre si n-k est paire, puisque qu'on fait exactement n pas, on doit choisir les (n-k)/2 déplacement à gauche parmi les n pas. Finalement le nombre cherché est :
Par analogie a mon problème je pense que le k fait référence à l'écart entre i et j . Est-ce vrai ? Et on doit multiplier la proba que j'avais calculé précédemment par ce coefficient ?