Niveau maths spé

Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables

Posté par
Yona0404 14-09-23 à 20:04

Bonjour!!

a) Soit $n\in \N^n$ et $p_1, p_2,...,p_n$ n nombres premiers distincts.
Montrer que $\N^n$ est dénombrable à l'aide de l'application définie par:
$(k_1,...,k_n) \rightarrow p_1^{k_1} ...p_n^{k_n}$

b)En déduire que le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable. Que peut-on dire d'un produit cartésien infini dénombrable d'ensembles dénombrables?

Pour a), il faut montrer que la fonction f prédéfinie est injective.

Pour cela, on considère deux n-uplets $(k_1,...,k_n)$ et $(r_1,...,r_n)$ de $\N^n$ tels que: $(k_1,...,k_n) \neq (r_1,...,r_n)$ , et on montre que $f(k_1,...,k_n) \neq f(r_1,...,r_n)$ .

$(k_1,...,k_n) \neq (r_1,...,r_n)$ donc i₀ {1,...,n} tq: k_i0r_i0. Cela est suffisant pour montrer que $p_1^{k_1} ...p_n^{k_n} \neq p_1^{r_1} ...p_n^{r_n}$ ??

Merci d 'avance!!

Posté par re : Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables 14-09-23 à 20:08

salut

peut-être en rajoutant que la décomposition d'un entier (autre que 1) en produit de facteurs premiers est unique (à permutation près)

Posté par re : Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables 14-09-23 à 22:28

Bonjour!!

Bien entendu. Je me lance alors dans la recherche de la question b). Merci!!^^

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

45 visiteurs

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths