Niveau maths spé

Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables

Posté par
Yona0404 14-09-23 à 20:04

Bonjour!!

a) Soit $n\in \N^n$ et $p_1, p_2,...,p_n$ n nombres premiers distincts.
Montrer que $\N^n$ est dénombrable à l'aide de l'application définie par:
$(k_1,...,k_n) \rightarrow p_1^{k_1} ...p_n^{k_n}$

b)En déduire que le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable. Que peut-on dire d'un produit cartésien infini dénombrable d'ensembles dénombrables?

Pour a), il faut montrer que la fonction f prédéfinie est injective.

Pour cela, on considère deux n-uplets $(k_1,...,k_n)$ et $(r_1,...,r_n)$ de $\N^n$ tels que: $(k_1,...,k_n) \neq (r_1,...,r_n)$ , et on montre que $f(k_1,...,k_n) \neq f(r_1,...,r_n)$ .

$(k_1,...,k_n) \neq (r_1,...,r_n)$ donc i₀ {1,...,n} tq: k_i0r_i0. Cela est suffisant pour montrer que $p_1^{k_1} ...p_n^{k_n} \neq p_1^{r_1} ...p_n^{r_n}$ ??

Merci d 'avance!!

Posté par re : Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables 14-09-23 à 20:08

salut

peut-être en rajoutant que la décomposition d'un entier (autre que 1) en produit de facteurs premiers est unique (à permutation près)

Posté par re : Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables 14-09-23 à 22:28

Bonjour!!

Bien entendu. Je me lance alors dans la recherche de la question b). Merci!!^^

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