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Produit d'espaces métriques - erreur de raisonnement?
Bonjour à toutes et tous et bonne année 2008!
Voici quelques lignes que je voudrais partager et discuter avec vous.
Soit un espace métrique. Je considère l'espace produit
et je note
un element de
qui est muni de la distance produit
Une application ,
est k-lipschitz si
.
Soit et je remarque que
j'en conclu que l'application est une application
-lipschtzienne.
D'ailleurs, si l'on pose on obtient une application 1-lipschitz par la première inégalité ci-dessus.
Dans le livre d'analyse de Xavier Gourdon je trouve dans la propositon 15, p. 15 (sans preuve) que l'application distance est lipschitzienne de rapport 2... où est mon erreur? (dans un autre message posté récemment on me disait qu'une distance n'est pas lispchitz 
)
J'ai vu que l'application pour
fixé est 1-lipschitz et de même l'application distance à un sous ensemble. Pourquoi cela ne marche pas avec une distance?
Avez-vous des références sur le sujet (un bon livre sur la topo+espaces métriques?)
Merci par avance!!
Bonjour
D'abord dans les messages précédents, on te disait qu'une distance quelconque n'est pas nécessairement lipschitzienne, mais il peut arriver qu'elle le soit.
Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais une fonction 
2-lipschitzienne est bien 2-lipschitzienne, donc je ne vois pas ce qui te trouble.
Bonjour,
en fait je crois que j'ai compris d'où venait ma confusion: les lignes précédentes montrent que pour tout espace métrique , la distance
est lipschitz.
On peut toutefois munir cet espace métrique d'une autre métrique qui n'est pas lipschitz-équivalente à la première. Le contre exemple était donné sur R par
et la distance usuelle sur R
.
Ainsi est trivialement une distance, mais n'est pas lipschitz par rapport à la distance
. En revanche
est évidemment lipschitz par rapport à elle-meme dans le sens où l'on considère
comme espace de base et non plus
.
Voilà, c'est peut être pas très très bien expliqué...
Sinon, pour le coefficient de lipschitz, je pensais que 2 était optimal alors qu'il n'en est rien, tout dépend de la métrique que l'on définit sur l'espace produit.
Voilà, bonne soirée et à bientôt!
Re bonjour,
dans le même ordre d'idée j'ai le petit problème suivant:
Soit un K-espace vectoriel normé. Est-ce que l'application
définie par
est lipschitz? uniformément continue? (j'ai déjà démontré la continuité)
@+
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