Bonjour,

Partir du fait que l'entier est identifié à la classe , de sorte que

Bonjour
+ l'associativité

bonjour ThierryPoma

Je pensais que

Rebonjour,

Merci pour vos réponses, mais je me rends compte que je me suis mal exprimé. J'ai d'abord oublier de préciser que a,b et c sont des entiers naturels. Ensuite, je souhaite montrer cette propriété (qui est logique pour moi quand je me la représente géométriquement dans ma tête) sans utiliser la définition de la multiplication dans Q (que je ne peux définir tant que je n'ai pas démontrer que ma propriété est vraie) ni l'associativité (laquelle découle de la définition).

Salut
je retire ce que j'ai dit

hum...dans ce type de demande, si on n'a pas les prérequis de manière précise ...

Soit il veut définir une multiplication dans et sa propriété deviendra triviale par identification de et d'une partie de ,
soit il veut définir une opération externe considéré comme groupe additif et il procède par (double) récurrence.

Bonsoir,
je trouve ta démarche assez bizarre : comment définis-tu ?

Historiquement on a « construit » comme un groupe multiplicatif.
En d'autres termes est construit par et pour les multiplications, et la difficulté provient des additions.

Si je comprend bien tu poses un problème formel sans définir précisément sur quoi il porte.
C'est mal

Je répète donc ma question : quelle est ta définition de ?

Bonsoir verdurin, tu as raison car il ne fera rien de bon sans avoir défini mais il peut toujours s'amuser avec ça :
Définir puis, en admettant ,  calculer et

Bonjour,

D'accord, donc si je comprends bien, la façon dont on a construit l'ensemble des rationnels et défini la multiplication est faite pour coller avec une représentation intuitive que l'on pouvait avoir des rationnels (ie considérer des fractions comme des divisions géométriques), et est faite pour mettre en forme algébriquement celle-ci ?

salut

au cours de ta scolarité (primaire) tu as appris à diviser un entier par un entier (non nul)

géométriquement tu sais couper une baguettes de 1 m en trois ... sauf que tu fais des mesures !!! et tu coupes approximativement

mais intellectuellement tu as appris à conceptualiser ce partage en trois

sauf que le pb c'est que dans la plupart des cas il y a un reste (si on s'en tient à la division euclidienne) ou elle ne se termine pas

il fallait donc formaliser rigoureusement cela et c'est comme le dis ThierryPoma

PS : et c'est pourquoi je ne suis pas intervenu parce que ta question n'avait pas de sens ...

ta multiplication externe est sans considération puisque la construction de Q se base sur la multiplication et la division dans Z

remarquer que a/b n'est qu'une écriture

on pourrait tout à fait considérer les couples (2, 3) ou (1, 5) puis faire les multiplications et additions ... mais quelle lourdeur !!!

(2, 3) + (1, 5) = (10, 15) + (3, 15) = (13, 15)

2/3 + 1/5 = ...

donc la construction de Q donne le sens à a * b/c = (ab)/c


on peut remarquer tout de même que :

a * (b/c) = a * (b * 1/c) = (a * b) * 1/c = (ab)/c

1/c est "l'unité" et si je prends a  fois b fois cette unité ben alors j'en prends (a * b) fois cette unité

Je vois, merci !

de rien

et puis si tu as déjà à ta disposition les règles d'addition dans Q , multiplier par c revient à ajouter c fois la fraction a/b

et ajouter des fractions de même dénominateur consiste à sommer les numérateur sur ce dénominateur commun...

d'où le résultat

Bonsoir,

Bien que ça paraisse logique, je me demandais s'il y'existait une preuve mathématique du fait que pour tous entiers x y n, avec n différent de 0, (soit que la division de la somme par n est égale à la somme des divisions par n) ainsi que du fait que (soit que diviser revient au miltiplier par l'inverse) ?

Merci et bonne soirée

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Bonsoir,

Oui bien sûr. C'est faisable niveau 4ème (en activité préparatoire).
Mais quelle définition as-tu du quotient de a par b (b non nul) ?
A partir de là tu devrais pouvoir voir comment faire.

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Le quotient x/n de deux entiers est pour moi le nombre tel que multiplié par n donne x mais je ne vois pas comment faire à partir de là pour démontrer les deux résultats

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Très bien.
En notant q le quotient de x par n, tu as donc qn=x.
De même, en notant q' le quotient de y par n, tu as q'n=y.
Que vaut x+y ? Ensuite tu conclus .

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C'est vrai merci . Mais lorsque l'on fait x + y = n(q+q') on utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des rationnels. Pourtant, il me semble que la preuve de la distributivité dans Q découle de la propriété de l'addition dans Q... c'est-à-dire qu'on utilise la propriété que je souhaitais initialement démontrer indirectement pour prouver qu'elle est vraie, donc qu'on admet que ce que l'on cherche à démontrer est vrai... non ?

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Ta question n'est plus niveau 4ème alors...
Qu'est ce qui est déjà fait ? La construction de Z ? de Q ?
Comment est définie l'addition dans Q ?

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Oui en effet. Ce qui est déjà fait c'est la construction de Z et je me suis intéressé à celle de Q, mais je ne sais pas sur quels axiomes celle-ci se base. Il me semble que la façon dont on définit l'addition dans Q est axiomatique, non ? Du moins elle se base sur une représentation axiomatique/intuitive que l'on a des fractions ?

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C'est un peu ça.
Je suppose que pour construire Q, il y a eu l'utilisation des relations d'équivalence ? Si oui, alors on définie l'addition de Q comme ça :

a/b + c/d = (ad+bc)/bc (On a bien au final un quotient donc un élément de Q. Il faudrait vérifier que vis-à-vis de la relation d'équivalence qui a été définie, qu'elle est indépendante du choix des représentants, mais ils faut être plus précis...)
Ta question est donc juste un cas particulier de cette définition.

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D'accord, je vois. Je me suis récemment intéressé de près à la construction de Q afin de voir comment les propriétés des opérations élémentaires (des rationnels) que l'on nous apprend depuis le collège étaient établies, et je me suis rendu compte que c'était de la définition de l'addition que tout partait (si je ne me trompe pas), et j'ai réalisé (ce qui semble alors se confirmer) que l'addition des rationnels était définie sur un « axiome » ou plus que ça, que je voyais très bien géométriquement dans ma tête (à savoir la relation que je cherchais à démontrer en début de discussion)

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salut

Bonjour,

Lorsque l'on construit l'ensemble des rationnels, on définit une relation d'équivalence la plupart du temps notée R, telle que pour tous entiers a,b,c,d avec b et d non-nuls, (a,b)R(c,d) <=> ad=bc <=> a/b=c/d. Je voulais alors savoir si la définition « ad=bc <=> a/b=c/d » n'impliquait pas une définition implicite d'une multiplication d'un rationnel (sous forme de quotient) par un entier. En effet, avec ad=bc #1 <=> (ad)/b=c #2 <=> d(a/b)=c #3 <=> (a/b)=(c/d) #4, les passage de #2 à #3 et de #3 à #4 n'impliquent-ils pas respectivement l'existence d'une multiplication externe commutative définie par (ZxQ)—>Q définie de manière implicite ?

Merci

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Bonjour

La construction que tu évoques en quotientant par la relation R définit l'objet , invitant à le voir comme une classe d'équivalence et non comme le produit de a par l'inverse de b (lesquels nombres se manipulent déjà avec les propriétés connues du groupe multiplicatif). Pas de sombres détricotages sous le tapis, donc.

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Bonjour !
On veut définir des rationnels parce qu'on veut une solution pour l'équation , compatible avec les entiers lorsque ( divise).
Cette solution (unique) est notée ou et les couples donnant la même solution sont liés par la relation d'équivalence (à démontrer) .

Alors, pour donner un sens au produit on est obligé, pour rester compatible avec la multiplication des entiers, de prendre pour le couple (et tous ceux qui lui sont équivalents) . Reste à vérifier que des couples équivalents donnent le même résultat.

Pour l'addition c'est plus compliqué et il faut montrer que doit être représenté par , avec vérification lors du remplacement par des couples équivalents.

Inutile de chercher d'autres mystères ! Ces notions (en tout cas leur principe) étaient enseignées en classe de .

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D'accord, merci ! Donc si je comprends bien, la définition que l'on donne des classes de rationnels avec R est construite de la manière dont on s'attend intuitivement (« le ad=bc <=> a/b=c/d »)

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