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Produit d’un rationnel par un entier

Posté par
Orange75
10-07-19 à 11:15

Bonjour,

Dans le cadre de la construction de la multiplication dans l'ensemble des rationnels, je me posais une question : y a-t-il une preuve/démonstration non-géométrique  du fait que, pour tous a,b,c avec b non-nul, c \frac{a}{b} = \frac{ca}{b}. J'ai pas mal cherché sur internet, sans jamais trouver de réponse explicite.

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Bonne journée.

Orange75

Posté par
ThierryPoma
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 11:25

Bonjour,

Partir du fait que l'entier c est identifié à la classe \dfrac{c}{1}, de sorte que

c\,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{1}\,\dfrac{a}{b}=\dfrac{ca}{b}

Posté par
mousse42
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 11:26

Bonjour
\frac{a}{b}= a\cdot \dfrac{1}{b} + l'associativité

Posté par
mousse42
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 11:29

bonjour ThierryPoma

Je pensais que c\cdot \dfrac{a}{b}=c\cdot \left(a\cdot \dfrac{1}{b}\right)=(c\cdot a)\cdot \dfrac{1}{b}=\dfrac{c\cdot a}{b}

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 11:47

Rebonjour,

Merci pour vos réponses, mais je me rends compte que je me suis mal exprimé. J'ai d'abord oublier de préciser que a,b et c sont des entiers naturels. Ensuite, je souhaite montrer cette propriété (qui est logique pour moi quand je me la représente géométriquement dans ma tête) sans utiliser la définition de la multiplication dans Q (que je ne peux définir tant que je n'ai pas démontrer que ma propriété est vraie) ni l'associativité (laquelle découle de la définition).

Posté par
Zrun
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 12:13

Orange75 @ 10-07-2019 à 11:47

sans utiliser la définition de la multiplication dans Q (que je ne peux définir tant que je n'ai pas démontrer que ma propriété est vraie)

Euh c'est quoi la définition de la multiplication dans Q que tu veux posée ? Parce que si tu n'as pas définie de multiplication dans Q, comme tu veux pouvoir calculer a \cdot \dfrac{b}{c} , qui est un produit de rationnels ??

Posté par
mousse42
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 12:16

Salut
je retire ce que j'ai dit

Posté par
malou Webmaster
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 12:57

hum...dans ce type de demande, si on n'a pas les prérequis de manière précise ...

Posté par
luzak
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 15:01

Soit il veut définir une multiplication dans \Q et sa propriété deviendra triviale par identification de \Z et d'une partie de \Q,
soit il veut définir une opération externe \Z\times\Q \to \Q considéré comme groupe additif et il procède par (double) récurrence.

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 18:22

luzak @ 10-07-2019 à 15:01

soit il veut définir une opération externe \Z\times\Q \to \Q considéré comme groupe additif et il procède par (double) récurrence.


C'est bien une opération externe que je souhaite définir. Comment pourrais-je faire une double récurrence ?

Posté par
verdurin
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 19:28

Bonsoir,
je trouve ta démarche assez bizarre : comment définis-tu \Q ?

Historiquement on a « construit » \Q^{*+} comme un groupe multiplicatif.
En d'autres termes \Q est construit par et pour les multiplications, et la difficulté provient des additions.

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 20:01

verdurin @ 10-07-2019 à 19:28

Bonsoir,
je trouve ta démarche assez bizarre : comment définis-tu \Q ?

Historiquement on a « construit » \Q^{*+} comme un groupe multiplicatif.
En d'autres termes \Q est construit par et pour les multiplications, et la difficulté provient des additions.


Bonsoir,

En fait, je souhaite prouver explicitement que multiplier le quotient \frac{a}{b} de deux entiers (naturels) (ici a et b, b≠0) par un troisième entier (naturel) (c) revient à multiplier le numérateur a par c puis à diviser le tout (ac) par b. On voit très bien cette égalité géométriquement en imaginant un rectangle de dimension 1xa que l'on divise en b parties puis qu'on multiplie le tout par c que l'on compare (et qui se superpose) à un rectangle de dimension cxa que l'on divise en b parties. Mais je voulais savoir si ce résultat géométrique s'expliquait "algébriquement" sans passer par la définition de la multiplication dans , qui découle en partie de ce même résultat, mais en passant par la simple définition de la division d'entiers.

Posté par
verdurin
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 21:07

Si je comprend bien tu poses un problème formel sans définir précisément sur quoi il porte.
C'est mal

Je répète donc ma question : quelle est ta définition de \Q ?

Posté par
luzak
re : Produit d’un rationnel par un entier 10-07-19 à 23:10

Bonsoir verdurin, tu as raison car il ne fera rien de bon sans avoir défini \Q mais il peut toujours s'amuser avec ça :
Définir 0.\dfrac ab= puis, en admettant n.\dfrac ab=\dfrac{na}b,  calculer (n+1).\dfrac ab et (n-1).\dfrac ab

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 11:42

verdurin @ 10-07-2019 à 21:07

Si je comprend bien tu poses un problème formel sans définir précisément sur quoi il porte.
C'est mal

Je répète donc ma question : quelle est ta définition de \Q ?


C'est vrai. Ma définition primitive des rationnels Q est un ensemble dont tous les éléments s'obtiennent par un quotient/division de deux entiers naturels (ie tout élément de mon ensemble Q s'écrit sous la forme a/b). J'y ai défini une multiplication restrictive * comme une application (N,(N,N*)) —> Q, où pour tout c dans N, pour tout (a,b) dans (N,N*), on associe le rationnel c*(a/b). Bon but est alors de vérifier que c*(a/b)=1*((c*a)/b), soit que pour tout quotient positif, multiplier ce quotient revient à multiplier le dénominateur.

Posté par
ThierryPoma
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 12:51

Bonjour,

Citation :
Ma définition primitive des rationnels Q est un ensemble dont tous les éléments s'obtiennent par un quotient de deux entiers naturels.


C'est faux. Rectifions très rapidement certaines choses. Considérant

(a,\,b)\in\Z\times\Z\mbox{ et }(a',\,b')\in\Z^*\times\Z^*\mbox{ et }a\,b'=b\,a'

qui est une relation d'équivalence sur \Z\times\Z^*, notée \mathcal{R}, l'on est conduit à construire le quotient (à isomorphisme près) (\Q,\,\pi), où

\Q=\dfrac{\Z\times\Z^*}{\mathcal{R}}

et \pi:\Z\times\Z^*\rightarrow\Q est la surjection canonique. Par "quotientage", il est possible de construire une multiplication sur \Q à partir de la multiplication sur \Z.

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 13:19

D'accord, donc si je comprends bien, la façon dont on a construit l'ensemble des rationnels et défini la multiplication est faite pour coller avec une représentation intuitive que l'on pouvait avoir des rationnels (ie considérer des fractions comme des divisions géométriques), et est faite pour mettre en forme algébriquement celle-ci ?

Posté par
carpediem
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 13:51

salut

au cours de ta scolarité (primaire) tu as appris à diviser un entier par un entier (non nul)

géométriquement tu sais couper une baguettes de 1 m en trois ... sauf que tu fais des mesures !!! et tu coupes approximativement

mais intellectuellement tu as appris à conceptualiser ce partage en trois

sauf que le pb c'est que dans la plupart des cas il y a un reste (si on s'en tient à la division euclidienne) ou elle ne se termine pas

il fallait donc formaliser rigoureusement cela et c'est comme le dis ThierryPoma

PS : et c'est pourquoi je ne suis pas intervenu parce que ta question n'avait pas de sens ...

ta multiplication externe est sans considération puisque la construction de Q se base sur la multiplication et la division dans Z

remarquer que a/b n'est qu'une écriture

on pourrait tout à fait considérer les couples (2, 3) ou (1, 5) puis faire les multiplications et additions ... mais quelle lourdeur !!!

(2, 3) + (1, 5) = (10, 15) + (3, 15) = (13, 15)

2/3 + 1/5 = ...

donc la construction de Q donne le sens à a * b/c = (ab)/c


on peut remarquer tout de même que :

a * (b/c) = a * (b * 1/c) = (a * b) * 1/c = (ab)/c

1/c est "l'unité" et si je prends a  fois b fois cette unité ben alors j'en prends (a * b) fois cette unité

Posté par
Orange75
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 14:04

Je vois, merci !

Posté par
carpediem
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 14:11

de rien

Posté par
matheuxmatou
re : Produit d’un rationnel par un entier 11-07-19 à 18:35

et puis si tu as déjà à ta disposition les règles d'addition dans Q , multiplier par c revient à ajouter c fois la fraction a/b

et ajouter des fractions de même dénominateur consiste à sommer les numérateur sur ce dénominateur commun...

d'où le résultat

Posté par Profil stras89Somme de divisions 13-07-19 à 20:00

Bonsoir,

Bien que ça paraisse logique, je me demandais s'il y'existait une preuve mathématique du fait que pour tous entiers x y n, avec n différent de 0, \frac{x}{n} + \frac{y}{n} = \frac{x+y}{n} (soit que la division de la somme par n est égale à la somme des divisions par n) ainsi que du fait que \frac{x}{n}  = x * \frac{1}{n} (soit que diviser revient au miltiplier par l'inverse) ?

Merci et bonne soirée

*** message déplacé ***

Posté par
FLEURISTIN
re : Somme de divisions 13-07-19 à 20:32

Bonsoir,

Oui bien sûr. C'est faisable niveau 4ème (en activité préparatoire).
Mais quelle définition as-tu du quotient de a par b (b non nul) ?
A partir de là tu devrais pouvoir voir comment faire.

*** message déplacé ***

Posté par Profil stras89re : Somme de divisions 13-07-19 à 20:48

Le quotient x/n de deux entiers est pour moi le nombre tel que multiplié par n donne x mais je ne vois pas comment faire à partir de là pour démontrer les deux résultats

*** message déplacé ***

Posté par
FLEURISTIN
re : Somme de divisions 13-07-19 à 20:52

Très bien.
En notant q le quotient de x par n, tu as donc qn=x.
De même, en notant q' le quotient de y par n, tu as q'n=y.
Que vaut x+y ? Ensuite tu conclus .

*** message déplacé ***

Posté par Profil stras89re : Somme de divisions 13-07-19 à 23:05

C'est vrai merci . Mais lorsque l'on fait x + y = n(q+q') on utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition dans l'ensemble des rationnels. Pourtant, il me semble que la preuve de la distributivité dans Q découle de la propriété de l'addition dans Q... c'est-à-dire qu'on utilise la propriété que je souhaitais initialement démontrer indirectement pour prouver qu'elle est vraie, donc qu'on admet que ce que l'on cherche à démontrer est vrai... non ?

*** message déplacé ***

Posté par
FLEURISTIN
re : Somme de divisions 13-07-19 à 23:12

Ta question n'est plus niveau 4ème alors...
Qu'est ce qui est déjà fait ? La construction de Z ? de Q ?
Comment est définie l'addition dans Q ?

*** message déplacé ***

Posté par Profil stras89re : Somme de divisions 13-07-19 à 23:17

Oui en effet. Ce qui est déjà fait c'est la construction de Z et je me suis intéressé à celle de Q, mais je ne sais pas sur quels axiomes celle-ci se base. Il me semble que la façon dont on définit l'addition dans Q est axiomatique, non ? Du moins elle se base sur une représentation axiomatique/intuitive que l'on a des fractions ?

*** message déplacé ***

Posté par
FLEURISTIN
re : Somme de divisions 13-07-19 à 23:22

C'est un peu ça.
Je suppose que pour construire Q, il y a eu l'utilisation des relations d'équivalence ? Si oui, alors on définie l'addition de Q comme ça :

a/b + c/d = (ad+bc)/bc (On a bien au final un quotient donc un élément de Q. Il faudrait vérifier que vis-à-vis de la relation d'équivalence qui a été définie, qu'elle est indépendante du choix des représentants, mais ils faut être plus précis...)
Ta question est donc juste un cas particulier de cette définition.

*** message déplacé ***

Posté par Profil stras89re : Somme de divisions 13-07-19 à 23:36

D'accord, je vois. Je me suis récemment intéressé de près à la construction de Q afin de voir comment les propriétés des opérations élémentaires (des rationnels) que l'on nous apprend depuis le collège étaient établies, et je me suis rendu compte que c'était de la définition de l'addition que tout partait (si je ne me trompe pas), et j'ai réalisé (ce qui semble alors se confirmer) que l'addition des rationnels était définie sur un « axiome » ou plus que ça, que je voyais très bien géométriquement dans ma tête (à savoir la relation que je cherchais à démontrer en début de discussion)

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Somme de divisions 14-07-19 à 10:56

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?



*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Produit d?un rationnel par un entier 14-07-19 à 10:57

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?



quel est le but d'ouvrir un 2e compte ? voir (Lien cassé)

Posté par
carpediem
re : Somme de divisions 14-07-19 à 12:10

salut

Citation :
l'addition des rationnels était définie sur un « axiome » ou plus que ça
non ce n'est pas un axiome c'est on décide de faire comme ça ... ça a le bon gout de pouvoir dire qu'un entier c'est un rationnel de dénominateur 1 et que l'addition des fractions est l'addition des entiers ...



*** message déplacé ***

Posté par
Orange75
Construction de Q 14-07-19 à 23:58

Bonjour,

Lorsque l'on construit l'ensemble des rationnels, on définit une relation d'équivalence la plupart du temps notée R, telle que pour tous entiers a,b,c,d avec b et d non-nuls, (a,b)R(c,d) <=> ad=bc <=> a/b=c/d. Je voulais alors savoir si la définition « ad=bc <=> a/b=c/d » n'impliquait pas une définition implicite d'une multiplication d'un rationnel (sous forme de quotient) par un entier. En effet, avec ad=bc #1 <=> (ad)/b=c #2 <=> d(a/b)=c #3 <=> (a/b)=(c/d) #4, les passage de #2 à #3 et de #3 à #4 n'impliquent-ils pas respectivement l'existence d'une multiplication externe commutative définie par (ZxQ)—>Q définie de manière implicite ?

Merci

*** message déplacé ***

Posté par
Jezebeth
re : Construction de Q 15-07-19 à 02:07

Bonjour

La construction que tu évoques en quotientant \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^* par la relation R définit l'objet \frac{a}{b}, invitant à le voir comme une classe d'équivalence et non comme le produit de a par l'inverse de b (lesquels nombres se manipulent déjà avec les propriétés connues du groupe multiplicatif). Pas de sombres détricotages sous le tapis, donc.

*** message déplacé ***

Posté par
luzak
re : Construction de Q 15-07-19 à 09:34

Bonjour !
On veut définir des rationnels parce qu'on veut une solution pour l'équation ax=b,\;a\in\Z^*,\;b\in\Z, compatible avec les entiers lorsque a\mid b( divise).
Cette solution (unique) est notée (b,a) ou \dfrac ba et les couples donnant la même solution sont liés par la relation d'équivalence (à démontrer) (b,a)\mathcal{R}(d,c)\iff bc=ad.

Alors, pour donner un sens au produit xy=\dfrac ba\dfrac dc on est obligé, pour rester compatible avec la multiplication des entiers, de prendre pour xy=\dfrac ba\dfrac dc le couple (et tous ceux qui lui sont équivalents) \dfrac{bd}{ac}. Reste à vérifier que des couples équivalents donnent le même résultat.

Pour l'addition c'est plus compliqué et il faut montrer que \frac ba+\frac dc doit être représenté par \dfrac{bc+ad}{ac} , avec vérification lors du remplacement par des couples équivalents.

Inutile de chercher d'autres mystères ! Ces notions (en tout cas leur principe) étaient enseignées en classe de 5^e.

*** message déplacé ***

Posté par
Orange75
re : Construction de Q 15-07-19 à 11:26

D'accord, merci ! Donc si je comprends bien, la définition que l'on donne des classes de rationnels avec R est construite de la manière dont on s'attend intuitivement (« le ad=bc <=> a/b=c/d »)

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Produit d’un rationnel par un entier 15-07-19 à 11:33

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
carpediem
re : Produit d’un rationnel par un entier 15-07-19 à 13:51

Orange75 @ 14-07-2019 à 23:58

Bonjour,

Lorsque l'on construit l'ensemble des rationnels, on définit une relation d'équivalence la plupart du temps notée R, telle que pour tous entiers a,b,c,d avec b et d non-nuls, (a,b)R(c,d) <=> ad=bc <=> a/b=c/d. Je voulais alors savoir si la définition « ad=bc <=> a/b=c/d » n'impliquait pas une définition implicite d'une multiplication d'un rationnel (sous forme de quotient) par un entier. En effet, avec ad=bc #1 <=> (ad)/b=c #2 <=> d(a/b)=c #3 <=> (a/b)=(c/d) #4, les passage de #2 à #3 et de #3 à #4 n'impliquent-ils pas respectivement l'existence d'une multiplication externe commutative définie par (ZxQ)—>Q définie de manière implicite ?

de toute façon a/b = c/d <=> ad = bc <=> kad = kbc <=> (ka)/b = (kc)/d <=> a/(kb) = c/(kd) ...

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