Niveau maths spé

Produit de Cauchy des séries entières

Posté par
charmander 27-02-15 à 12:26

Bonjour,

Un petit détail dans le produit de Cauchy me perturbe:
On sait que si
$a(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k$
$b(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}b_k x^k$
alors
$a(x)b(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})x^n$
Mais comment on fait si par exemple, b ne commence pas à l'indice 0 mais à l'indice 1 ?
$b(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}b_k x^k$
On pourrait poser $b_0=0$ et simplifier après, mais si j'ai l'impression que ça donne pas le même résultat.
Notamment, il me semble que
$a(x)b(x)\neq\sum_{n=0}^{+\infty}(\sum_{k=1}^{n} a_k b_{n-k})x^n$
Ca doit être un petit détail mais ça me perturbe énormément.
Merci d'avance pour vos explications.

Posté par re : Produit de Cauchy des séries entières 27-02-15 à 13:14

salut

il suffit de faire un décalage d'indice pour commencer à 0 ...

Citation :
... mais si j'ai l'impression que ça donne pas le même résultat.

fais le explicitement sur une feuille en calculant les coefficients de la série produit ... avec b_0 = 0 et sans b_0 ....

et tu n'auras plus une impression mais une preuve .... et tu seras convaincu d'une telle éventualité ...

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