Niveau Licence Maths 1e ann

produit de sinus

Posté par
matois17 03-07-10 à 16:04

Bonjour,
Je cherche à démontrer la formule suivante :
sin nz = 2^(n-1).sin z.sin(z+Pi/n).sin(z+2.Pi/n)...sin(z+(n-1).Pi/n)    (1)
Pour cela je sais qu'on peut passer par :
sin nz =(e^niz+e^(-niz))/(2i)=e^(-niz).(e^(2niz)-1)/(2i)        (2)
On reconnaît dans le dernier membre de (2) le polynôme e^(-niz)-1 dont les racines sont les nièmes racines de l'unité :
1, e^(-2iPi/n),e^(-3iPi/n),..,e^(-2(n-1)Pi/n, il en résulte que sin nz se factorise en
sin nz = e^(-niz)[(e^2iz -1)(e^2iz-e^(-2iPi/n))...(e^2iz-e^(-2(n-1)iPi/n)]   (3)
L'énoncé me précise qu'on peut mettre alors sin nz sous la forme
sin nz = A.sin z sin(z+Pi/n).sin(z+2Pi/n)...sin(z+(n-1)Pi/n)   (4)
avec A=(2i)^(n-1).e^(-iPi/n).(1+2+3+...+(n-1))=(2i)^(n-1).e^(-1(n-1)Pi/2)=2^(n-1)
Un matheux peut-il me dire comment passer de l'égalité (3) à la (4). Merci.

Posté par re : produit de sinus 03-07-10 à 16:47

Bonjour,

je pense que tu devrais arriver à tes fins en multipliant chacun de tes facteurs à partir du deuxième par e^(-iz + ik/n) en décomposant ton premier facteur en n facteurs égaux à e^(-iz) et en divisant ensuite ton expression totale par les produit des e^(ik/n)

Posté par re : produit de sinus 03-07-10 à 17:46

Bonjour,

Ton égalité (3) est :

$4$(e^{-inz})\frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}e^{2iz}-e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{2i} \\ =(e^{-inz})\frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}e^{2iz}-e^{\frac{-2ik\pi}{n}}}{2i} \\ =(e^{-inz})\frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}e^{i(z-\frac{k\pi}{n})}(e^{i(z+\frac{k\pi}{n})}-e^{-i(z+\frac{k\pi}{n})})}{2i} \\ =\bigprod_{k=0}^{n-1}e^{-i\frac{k\pi}{n}} \frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}(e^{i(z+\frac{k\pi}{n})}-e^{-i(z+\frac{k\pi}{n})})}{2i} \\ =e^{(-i\frac{k\pi}{n}.(\bigsum_{k=0}^{n-1}k))} \frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}(e^{i(z+\frac{k\pi}{n})}-e^{-i(z+\frac{k\pi}{n})})}{2i}$
Donc pour faire apparaitre des sinus dans ton produit de n facteurs, il faut faire apparaitre au dénominateur le nombre de 2i suffisant. Comme tu en as déjà un il t'en manque (n-1), donc on multiplie par $(2i)^{n-1}$ au numérateur et au dénominateur. On aboutit à :

$3$(2i)^{n-1} e^{(-i\frac{k\pi}{n}.(\frac{1}{2}n(n-1)))} \bigprod_{k=0}^{n-1}sin(z+\frac{k\pi}{n}) \\ =A.\bigprod_{k=0}^{n-1}sin(z+\frac{k\pi}{n})$ (4)

Voici, ce fut un bon entrainement pour le LtX je te remercie ! Si j'ai été trop vite à une étape n'hésite pas

Posté par re : produit de sinus 03-07-10 à 17:48

Oops, à partir de la 5e ligne, il n'y a plus de "k" dans le exp(ikpi/n)

Posté par re : produit de sinus 03-07-10 à 19:10

Bravo Noflah,

je n'avais pas eu le courage de taper tout cela en LaTeX

Posté par re : produit de sinus 03-07-10 à 19:31

Merci Rodolphe

J'avoue cependant que c'est en partie pour mon entrainement personnel, et pas entièrement pour matois17.
Et puis tellement de personne sur ce forum ce sont donné la peine d'écrire de longues lignes de LaTeX pour moi, alors à mon tour de faire profiter les autres de la compréhension que permet ce langage.

Bonne soirée

Posté par produit de sinus 04-07-10 à 09:28

Bonjour,
Merci beaucoup à tous les 2.
Les explications de Noflah sont lumineuses et les mises en facteurs acrobatiques !

Posté par re : produit de sinus 04-07-10 à 11:17

Bonjour matois,

Je te rassure cela ne m'est pas venu tout à fait naturellement, j'ai quand même pas mal cherché avant.
Petits trucs auxquels il faut penser à utiliser lorsque l'on a des fraction d'exponentielles comme ici (ici ce n'est pas tout à fait des fraction on en a qu'en haut).
1)essayer de se ramener à la forme du sinus ou du cosinus, souvent par la méthode de l'arc-moitié.
2)Ici j'ai du réorganiser le produit un peu pour faire apparaitre à droite l'angle qui me convenait (-ikpi/n au lieu de ikpi/n)
3)Toujours avoir en tête qu'un produit d'exponentielle est l'exponentielle de la somme, respectivement une somme de log est le log du produit.

Mais je crois qu'ici le plus important est l'arc-moitié. C'est le même raisonnement qui revient tout le temps, lorsque tu veux calculer cos(kx), sin(kx) etc... Ça revient souvent.

Ravi d'avoir pu t'aider bonne journée.