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Produit infini

Posté par
fusionfroide 16-05-07 à 21:13

Salut

Montrer que : 4$\Bigprod_{n=1}^{\infty} (1-\frac{z^2}{n^2}) converge normalement sur tout compact de 4$\mathbb{C}

Donc je n'ai pas vu ça en TD et les TD sont finis !!

Voilà ce que je dirai d'après le cours :

On pose 4$u_n(z)=-\frac{z^2}{n^2}

Pour n assez grand, on a : 4$|u_n(z)|<1

Or 4$\Bigsum(u_n(z)) converge normalement donc 4$\Bigprod (1+u_n(z)) aussi

Est-ce correct ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 16-05-07 à 23:42

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 16-05-07 à 23:52

re

oui, c'est correct !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 16-05-07 à 23:55

ok merci !

mais ce qui me semblait louche, c'est que l'on écrit 1+u_k seulement si l'on sait que le produit converge, non ?

Est-ce qu'ici on ne triche pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 16-05-07 à 23:59

je ne suis pas sûr de bien comprendre !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 17-05-07 à 00:03

Non laisse tomber je dis n'importe quoi

Merci pour ta confirmation !

Je poste un dernier sujet sur la représentation conforme si ça t'intéresse !

:D

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 00:04

ben écoute, vas-y !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 17-05-07 à 00:11



Ayé !!

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 17-05-07 à 00:38

Re,

Une dernière question :

Comment montre-t-on que 4$\Bigprod_{n=0}^{\infty} (1+z^{2n})=\frac{1}{1-z}

Il faut déjà montrer que sa converge.

ENsuite, juste une idée comme ça, j'étudierai le log du produit pour me ramener à une somme.

Est-ce la bonne méthode ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 00:48

Pour la convergence, tu peux réutiliser le résultat de tout à l'heure.
par contre, pour le log, il faut faire attention aux formules du types ln(ab)=ln(a)+ln(b) (car elle ne sont pas forcément vraies).
En effet, l'angle qui apparait dans le logarithme doit être dans un intervalle précis et si l'on fait la somme de deux angles, on peut sortir de cet intervalle.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 17-05-07 à 01:03

ok mais est-ce la méthode pour prouver le résultat ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 01:07

eh bien, justement, je crains que l'on pas vraiment le droit de passer par le log, d'après ma remarque précédente.

Sinon, je n'ai pour l'instant, pas d'idées pour prouver ce résultat.
J'y réfléchis.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 01:16

par contre, un petit hic : ça ne serait pas \Large{\frac{1}{1-z^{2}}} le résultat par hasard ?
je dis ça car le produit définit une fonction paire alors que ce n'est pas le cas du terme de droite.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 01:21

Sinon, une idée pour le calcul : il suffit de calculer le produit partiel et normalement, tu devrais reconnaitre quelque chose.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 01:21

Bon sur ce, je vais aller !
Bonne nuit !

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit infini 17-05-07 à 14:54

Bonjour (j'espère que vous êtes réveillés).

On a (1-z)(1+z)(1+z^2)...(1+z^{2^n})=(1-z^2)(1+z^2)...(1+z^{2^n})=...=1-z^{2^{n+1}}

Si |z|<1, le terme à droite tend vers 1, donc pour |z|<1 on a

\Large \prod_{n=0}^\infty(1+z^{2^n})=\frac{1}{1-z}

(mais ce n'est peut-être pas le bon exo)

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 14:58

Salut camélia (oui, bien réveillé )

mais justement, la limite que tu trouves ne serait pas plutôt \Large{\frac{1}{1-z^{2}}} (sinon, on a une fonction paire qui ne l'est pas )

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit infini 17-05-07 à 15:00

Non, ça commence par 1+z^{2^0}=1+z (mais j'ai interprété l'énoncé!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Produit infini 17-05-07 à 15:02

ah OK, au temps pour moi !

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit infini 17-05-07 à 15:02

Posté par
fusionfroidere : Produit infini 17-05-07 à 19:19

Désolé c'est 4$\Bigprod_{n=0}^{\infty} (1+z^{2^n})=\frac{1}{1-z}


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