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produit infini
Bonjour,
Est-ce légitime (je suppose que oui
, mais pourquoi?) d'écrire \frac{\sin{x}}{x}=(1-\frac{1}{\pi})(1+\frac{1}{\pi})(1-\frac{1}{2\pi})(1+\frac{1}{2\pi})(1-\frac{1}{3\pi})(1+\frac{1}{3\pi})...? [la prévisualisation TEX ne marche pas!]
J'ai rencontré cette écriture dans la démonstration du produit de Wallis. (voir http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product)
En fin de compte, on considère cette fonction comme un polynôme infini factorisé par chacune de ses racines.
Justin
[la prévisualisation TEX ne marche pas!]
Il faut mettre l'expression entre les deux bornes [ tex] et [ /tex] (sans l'espace apres le premier crochet):
?
bizarre, l'expression de droite ne contient aucun "x", cela voudrait-il dire que soit constant ? donc improbable.
Lankou: Non, aucune image TEX ne marche chez moi (je n'arrive même pas à lire le message de Chimson en entier)
CrimsomKing: Normal qu'il n'y ait aucun x à droite car on a divisé le sinus par x !
Ca doit être correct, mais quelqu'un peut-il me le prouver?
Justin
Bonjour 
CrimsonKing >>
Il suffit de regarder le lien donné. En effet, erreur de frappe ici, il/elle voulait mettre :
Justin >>
Normal qu'il n'y ait aucun x à droite car on a divisé le sinus par x !
Si tu ne lis pas bien le lien aussi ... on va avoir du mal à t'aider !
[Je persiste et signe ON]
le membre de droite ne dépend pas de x (donc est constant)
tandis que le membre de gauche est sinx / x
dont le développement limité est 1 - x²/2 + ... + (-1)^(n)*x^2n / n! + o(x^2n)
donc dépend, lui de x
il y a donc un schmilblick dans ton énoncé. soit il doit y avoir des x à droite ou alors à gauche c'est autre chose que x que tu as à gauche...
j'imagine qu'en fait l'énoncé est sinx / x = ( 1 + x/pi ) ( 1 - x/pi) (1 + x / 2pi) (1 - x/2pi) ..... (produit infini)
et, dans ce cas, toutes les valeurs (+ k pi) et (- k pi) annulant sinx donc sin x / x ce serait probable ... à voir...
Pourquoi aurai-je mal lu le lien? J'ai juste fait une erreur en reécrivant la relation (aucune des images tex ne s'affichent chez moi, j'ai pas pu "visualiser" ce que j'avais écrit).
Et puis, c'est "évident" que j'avais fait une erreur de frappe, la fonction n'est clairement pas constante...
Alors pourquoi cette remarque si c'est si évident que cela 
Normal qu'il n'y ait aucun x à droite car on a divisé le sinus par x !
Bonjour Justin (et les autres). La formule est vraie, mais il y a toute une théorie de développement en produits infinis (un peu comme les développements en série) là dessous; en particulier il faut justifier la convergence. Donc à manier avec précaution!
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