Bonjour,

Je pense qu'il va être difficile de donner une preuve générale, en effet la preuve dépendra de la norme en question et surtout des "vecteurs" dont tu calcules la norme...
En effet de ce que je sais, le fait que la norme matricielle soit sous-multiplicative (la norme du produit est inférieur ou égal au produit des normes) se montre (avec Cauchy-Schwarz si mes souvenirs sont bons) de manière très différente que pour le produit de deux fonctions avec les normes de Lp (qui est l'inégalité de Hölder).

Dans le cas réel. Soit et quelconques dans , ce dernier étant muni d'un produit scalaire noté . Du fait que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, l'on a, pour tout :



Ainsi a-t-on si et seulement si . D'où

Mais je pense que tu connais déjà cette preuve.

A +

Bonjour DHilbert,

Je suppose que tu as mieux compris la question que moi, j'avoue que je pensais que dans la question de jonwam les mots "norme" désignaient deux fois la même chose.

Errata : Lire :

Soit et quelconques dans un espace vectoriel euclidien . L'on note le produit scalaire sur . [...]

A +

Non, car j'ai réctifié mon message entre temps. Cependant, je considère quand même que le -espace vectoriel est muni de sa norme (sic) usuelle.

Que se passe-t-il dans le cas "complexe" ; je lui laisse le loisir de voir ce qui se passe pour les espaces préhilbertiens ou hermitiens.

A +

DHilbert:

@Surb : Nous verrons bien quand l'auteur reviendra et nous apportera quelques lumières.

A +

merci à vous deux pour vos réponses

c'est après avoir regardé la définition d'une norme sur une algèbre que je me suis posé la question (et que je l'ai postée sans trop y réfléchir avant ) mais en effet Surb si le produit de deux normes est toujours le même, l'autre est spécifique à chaque objet que l'on traite et donc il parait plus que logique qu'une démonstration générale ne peut être espérée sur des objets différents (et même des multiplications différentes).
Mais alors avez-vous un exemple d'ev où l'inégalité serait fausse svp?

Bonjour

Si sur l'espace des polynômes réels tu prends regarde ce qui se passe pour P=Q=X+1

Merci Camelia pour cet exemple d'une merveilleuse simplicité . J'étais entrain d'essayer d'en construire un avec difficultés pour obtenir quelque chose de pas trop affreux.