Bonjour jacko78!

Bon, pour ta question3, j'ai fait le même exo dans un bouquin il y a pas longtemps et je me souviens de la réponse:

La base orthonormée est l'ensemble des matrices Eii et (1/2)(Eij+Eji)

Alors pour la démonstration, je ne me souviens plus du détail exactement, mais ils utilisaient le fait que déjà, ces matrices sont les matrices symétriques de la base canonique de Mn(R), donc constituent bien une base.
Pour prouver qu'elles sont bien orthonormales pour ce produit scalaire, ils calculaient:
(Eik,Eik)=1 si i=k, 0 sinon
(Eik,Eki)=2 si i=k, 0 sinon (d'où le 1/2 pour orthonormaliser )

Voilà ce que je peux te dire de ce dont je me souviens...

Mais peut-être serais-tu intéressé par le nom du livre dans lequel il est parfaitement traité?

J'ai cherché le titre, et si ça t'intéresse, c'est:
"Algèbre et géométrie" 435 exercices corrigés
Corinne Dufetrelle et c'est chez Vuibert

Voilà, peut-être si trouve-t-il à ta bibliothèque

Ok merci c'est sympa de ta part
Je ne cherche pas a avoir la correction ca n'est pas le but mais je reposterai si j'ai des problemes par la suite
merci beaucoup

ok lolo5959 j'ai pas cherché le bouquin mais la question qui vient apres me bloque un peu aussi, pour ce qui est de la 3 effectivement j'avais deja trouvé la base ca n'etait plus tres compliqué...

je te remet la question :

On considère deux matrices A et B de fixées, avec AO

Trouver le reel qui minimise la quantité et en deduire l'expression du projecteur orthogonal sur la droite vectorielle engendrée par A.

Voila, si quelqu'un d'autre a son idée la dessus c'est sympa aussi, merci a tous...

la formule qui est mal passée etait :

la formule indiquée n'est autre, si tu la developes, qu' un trinome du second degré: si on note N(M) = (M,M) la norme de la matrice M alors:

(B-A,B-A) = N(B)² + ² N(A)² - 2 (A,B)

or le minimum d'un trinome a X² + b X + c est atteint (s'il existe) pour:
X = - b/2a

je te laisse conclure...