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Produit scalaire
Bonjour
Je dois montrer que l'application suivante n'est pas un produit scalaire sur F. Je pense que l'application n'est pas définie, mais je ne sais pas comment le montrer, et je ne trouve pas de contre-exemple :
Soit F l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R
et l'application : Ψ : (f,g) -->
Il faudrait que je trouve un contre exemple tel que =0 mais que f soit différente de la fonction nulle
Merci de votre aide
Bonjour, l'application est bien définie, attention à la terminologie employée (ça peut être une question supplémentaire de montrer que les intégrales considérées existent bien).
Pour ton idée : c'est tout à fait ça. Commence par des dessins, je pense que prendre f et g des fonctions affines par morceaux est assez simple.
Oui, on utilise le terme défini pour dire que si <f,f>=0 alors f=0
Mais je ne trouve pas d'exemple tel que <f,f>=0, pour f différent de la fonction nulle... Avez-vous une idée ?
Bonjour,
2 fonctions non nulles peuvent être orthogonales vis à vis d'un produit scalaire donné.
Bonjour, avez-vous un exemple je ne comprends pas très bien
Salut,
Il faut choisir comme une fonction oscillante qui s'annule sur
, mais qui n'est pas identiquement nulle.
Perso je prends .
Pour , je choisirais une fonction qui est également oscillante et qui s'annule sur
, mais de manière différente de
.
Donc choix judicieux serait .
On a bien .
Je voulais dire que ce n'est pas parce qu'on va trouver 2 fonctions f et g non identiquement nulles telles que qu'on aura prouvé qu'il ne s'agit pas d'un produit scalaire. Les 2 fonctions seront orthogonales c'est tout.
Par contre si tu trouves une fonction f non identiquement nulle sur telle que pour tout g
alors oui il ne s'agira pas d'un produit scalaire.
Je pense qu'en l'espèce c'est le domaine de définition des fonctions qui ne convient pas.
Mais pour montrer que le produit scalaire est n'est pas défini il faut montrer que <f,f>=0 puis que f n'est pas la fonction nulle, donc on utilise une seule fonction, or la vous évoquez 2 fonctions différentes f et g. Peut-on faire ça ?
Justement tu peux prendre pour f la fonction égale à
x sur ]-
, 0[
0 sur [0,1]
x-1 sur ]1, +[
elle est continue et n'est pas identiquement nulle sur 
et cependant...
Bonjour larrech, merci, j'ai lu trop vite ! Je ne sais pas vraiment à quoi je pensais en rédigeant ma réponse....
Mais pour montrer que le produit scalaire est n'est pas défini il faut montrer que <f,f>=0 puis que f n'est pas la fonction nulle, donc on utilise une seule fonction, or la vous évoquez 2 fonctions différentes f et g. Peut-on faire ça ?
Non, on ne peut pas. Un produit scalaire est une application bilineaire symétrique définie positive. Ce dernier point dit que, dans cet exemple,
Donc pour montrer quelle n'est pas définie positive, on nie cette phrase : il suffit de montrer qu'il existe
L'exemple de larrech est un exemple de fonction
Justement tu peux prendre pour f la fonction égale à
x sur ]-
, 0[
0 sur [0,1]
x-1 sur ]1, +
[
elle est continue et n'est pas identiquement nulle sur
et cependant...Mais comme on s'intéresse au morceau [0,1], la fonction est nulle dans votre exemple
MattZolotarev
Avez-vous un exemple de fonctions qui respectent ces critères car je n'en trouve pas...
MattZolotarev
Avez-vous un exemple de fonctions qui respectent ces critères car je n'en trouve pas...
J'insiste, l'exemple de larrech fonctionne :
Même si le produit scalaire fait intervenir une intégrale uniquement sur le segment
La fonction proposée par larrech est bien une fonction continue définie sur
Et on a bien que
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