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Niveau Maths sup
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Produit scalaire, automorphisme. DM

Posté par
polka-dots
24-05-10 à 20:46

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour cet exercice:

On considère le -espace vectoriel de M_n() des matrices carrées d'ordre n2. On définit l'application de M_n()xM_n() dans par: (A,B)=tr(A^tB).

1) Calculer (A,B) en fonction des coefficients de A et B et prouver que est un produit scalaire sur M_n().

2) Soit A= (a_{i,j})_{1<<i,j<<n) M_n(). Montrer que |\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n a_{i,j} n\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n a_{i,j}².

3) On note respectivement S_n et A_n les sous-espaces vectoriels de M_n() des matrices symétriques et antisymétriques. Prouver que S_n et A_n sont orthogonaux pour le produit scalaire .

4) On note la norme associée à .
a) Soit U une matrice orthogonale de M_n() et M une matrice de M_n(). Exprimer (MU) en fonction de (M) et en déduire que M MU est un automorphisme orthogonal de M_n().
b) Réciproquement, supposons que MMA soit un automorphisme orthogonal de M_n(). Prouver que M   M_n(), tr($~^tA$AM^tM= tr(M^tM). En prenant M = E_{i,j} puis M= In + E_{i,j} avec ij, prouver que $~^tA$A - In est antisymétrique. Conclure que A est orthogonale.

Bien, commençons par la question 1), dois-je faire le raisonnement pour des matrices carrées d'ordre 2 ou +?

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 20:49

Bonsoir,

Il s'agit là de matrices carrés d'ordre n, il faut faire un raisonnement général.
Par exemple en posant (cij)=AtB tu peux exprimer les cij en fonction des bij et aij, puis (A,B)= cii    pour i variant de 1 à n

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 20:49

Désolé pour les $, ils ne sont pas censés apparaître. Je voulais écrire la transposée de A.

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:01

Ok, pour la 2), j'suppose qu'il faut utiliser Cauchy, mais comment?

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:19


Oui Cauchy Schwartz ça marche bien en effet, bien vu :
Si l'on pose U=(uij) tel que pour tout i,j uij=1  (ou U= la somme des Eij comme tu préfères) tu reconnais à gauche (A,U)² et à droite (A,A)² * n
c'est à dire ||A||²*||U||²  (enfin pour ca il faudrait un n², c'est pas un n² ?)

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:21

J'ai une question pour la 1), tout à l'heure jmétais arrêté à Cn,n= an,1bn,1+ an,2bn,2 + .. + an,nbn,n.

J'ai c1,1...c2,2...cn,n

pour (A,B), je dois faire une récurrence sur c pour écrire une expression de c en fonction de n, générale, ou ..?

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:23

Non c'est un n.

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:25

Je comprend pas ta question, pourquoi veux tu faire une récurrence ?


Ah mince j'ai du me tromper quelque part, je regarde ca.

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:28

Ah non c'est bon, moi non plus je ne comprends pas ma question.... Oo

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:28

Prenons

A= (1 1)
   (1 1)  alors le membre de gauche vaut 4²=16 et le membre de droite vaut 2*4=8. C'est forcement un n²

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:35

C'est peut-être une erreur alors..

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:39

Pour la 3), j'ai essayé, mais j'ai trouvé un résultat incohérent. J'vais re-essayé.

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:42

C'est pas peut être, je viens (sauf si je me suis trompé dans mon calcul) de te trouver un contre exemple. C'est donc une erreur.

Pour la 3) c'est bon je l'ai, faut aimer jouer avec les indices de sommes si tu veux le faire rigoureusement. Sinon tu fais un petit dessin et "ça se voit" ...

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:48

Pour la 3), j'y arrive pas. J'ai peut-être fait une erreur de calcul, mais mon résultat est pas du tout cohérent. Peux-tu me montrer ta méthode? J'vais essayer de refaire mon calcul

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 21:56

D'accord. Soit S=(sij) € Sn et A=(aij) € An
(S,A)= (1in)(1kn)  sik*aik
                   = (1in)(1k(i-1)) sik*aik + (1in)(i+1kn) sik*aik
                   = (1in)(1k(i-1)) sik*aik + (1kn)(1ik-1) sik*aik

mais sik=ski et aik = - aki  donc
                  = (1in)(1k(i-1)) sik*aik - (1kn)(1ik-1) ski*aki


La tu intervertis les k et les i dans la deuxieme somme si tu n'es pas convaincu mais ça s'annule

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:01

Merci, je regarde ça tout de suite

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:08

Ok, ça marche, en faîte j'avais pas procédé de la même façon, mais tant pis.

J'vais essayer la 4)

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:11

Dis toujours comment tu avais fait, si c'est une bonne méthode, peut être même plus rapide, c'est bête de s'en priver à cause d'une erreur de calcul.

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:17

Si tu veux je te la posterais demain, mon Dm est super long

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:23

sais-tu comment on montre que c'est un automorphisme orthogonal pour la 4)a) ? Pour le début de la question c'est bon, mais là je bloque.

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:33

Quelle est la définition d'un automorphisme orthogonal ?

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:37

c'est ce qui conserve le produit scalaire?

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:38

Citation :
Si tu veux je te la posterais demain, mon Dm est super long


C'est pour demain ??

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:39

Il conserve le produit scalaire oui, c'est une des PROPRIETE, mais la définition ce n'est pas çà.

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:46

f est une endomorphisme orthogonal ssi pour tout x  ||f(x)||=||x||,  ça te dit quelque chose ou je délire ? (j'ai un doute maintenant ^^)

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:55

oui c'est pour demain.

Désolé j'suis un peu dans les vappes! Oui bien sûr ça m'dit quelque chose

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 22:56

Aller c'est partit alors, on va le finir ce DM !

Donc tu as du montré que ||MU||=|M| juste avant, donc tu as bien un endo/automorphisme orthogonal ?

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:02

Oui, c'est bon!

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:04

En faîte, mon DM est divisé en plusieurs exos. C'est pas un DM entier sur cet exo

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:05

Ok, donc c'est bon il est fini, ou au contraire il en reste beaucoup ?
La 4)b) t'as une idée comment procéder ?

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:08

Non, mais j'suis en train de chercher.

Il reste un exo avec 3 questions, un truc avec des noyaux et des images, horrible.. TT

Posté par
Noflah
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:14

Magnifique tu veux dire, l'algèbre c'est beau.
Cependant je dois t'abandonner au combat, j'ai cours demain. Bon courage pour finir ça, et si tu as d'autres questions n'hésite pas à les poser dans un nouveau post pour attirer l'attention des quelques correcteurs encore présents (si tu as des question pour l'exo qu'il reste après je veux dire).

Pour la 4)b), petit indice avant de partir, on veut montrer AtA=In.
En considérant M=Eij j'ai réussi à montrer que AtA n'a que des 1 sur la diagonale. Reste à montrer les 0. Y a surement plus rapide pour montrer tout d'un coup. Bon courage.

Posté par
polka-dots
re : Produit scalaire, automorphisme. DM 24-05-10 à 23:17

J'suis d'accord, mais quand on a accumulé pas mal de lacunes en algèbre, c'est dur de s'y retrouver! Mais oui, les mathématiques sont belles

OK, j'vais essayer. Merci à toi!



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