Bonsoir,
J'ai besoin d'aide pour cet exercice:
On considère le -espace vectoriel de
(
) des matrices carrées d'ordre n
2. On définit l'application
de
(
)x
(
) dans
par:
(A,B)=tr(
).
1) Calculer (A,B) en fonction des coefficients de A et B et prouver que
est un produit scalaire sur
(
).
2) Soit A=
(
). Montrer que |
|²
n
².
3) On note respectivement et
les sous-espaces vectoriels de
(
) des matrices symétriques et antisymétriques. Prouver que
et
sont orthogonaux pour le produit scalaire
.
4) On note la norme associée à
.
a) Soit U une matrice orthogonale de (
) et M une matrice de
(
). Exprimer
(MU) en fonction de
(M) et en déduire que M
MU est un automorphisme orthogonal de
(
).
b) Réciproquement, supposons que MMA soit un automorphisme orthogonal de
(
). Prouver que
M
(
), tr(
= tr
. En prenant M =
puis M= In +
avec i
j, prouver que
est antisymétrique. Conclure que A est orthogonale.
Bien, commençons par la question 1), dois-je faire le raisonnement pour des matrices carrées d'ordre 2 ou +?
Bonsoir,
Il s'agit là de matrices carrés d'ordre n, il faut faire un raisonnement général.
Par exemple en posant (cij)=AtB tu peux exprimer les cij en fonction des bij et aij, puis (A,B)=
cii pour i variant de 1 à n
Oui Cauchy Schwartz ça marche bien en effet, bien vu :
Si l'on pose U=(uij) tel que pour tout i,j uij=1 (ou U= la somme des Eij comme tu préfères) tu reconnais à gauche (A,U)² et à droite
(A,A)² * n
c'est à dire ||A||²*||U||² (enfin pour ca il faudrait un n², c'est pas un n² ?)
J'ai une question pour la 1), tout à l'heure jmétais arrêté à Cn,n= an,1bn,1+ an,2bn,2 + .. + an,nbn,n.
J'ai c1,1...c2,2...cn,n
pour (A,B), je dois faire une récurrence sur c pour écrire une expression de c en fonction de n, générale, ou ..?
Je comprend pas ta question, pourquoi veux tu faire une récurrence ?
Ah mince j'ai du me tromper quelque part, je regarde ca.
Prenons
A= (1 1)
(1 1) alors le membre de gauche vaut 4²=16 et le membre de droite vaut 2*4=8. C'est forcement un n²
C'est pas peut être, je viens (sauf si je me suis trompé dans mon calcul) de te trouver un contre exemple. C'est donc une erreur.
Pour la 3) c'est bon je l'ai, faut aimer jouer avec les indices de sommes si tu veux le faire rigoureusement. Sinon tu fais un petit dessin et "ça se voit" ...
Pour la 3), j'y arrive pas. J'ai peut-être fait une erreur de calcul, mais mon résultat est pas du tout cohérent. Peux-tu me montrer ta méthode? J'vais essayer de refaire mon calcul
D'accord. Soit S=(sij) € Sn et A=(aij) € An
(S,A)=
(1
i
n)
(1
k
n) sik*aik
= (1
i
n)
(1
k
(i-1)) sik*aik +
(1
i
n)
(i+1
k
n) sik*aik
= (1
i
n)
(1
k
(i-1)) sik*aik +
(1
k
n)
(1
i
k-1) sik*aik
mais sik=ski et aik = - aki donc
= (1
i
n)
(1
k
(i-1)) sik*aik -
(1
k
n)
(1
i
k-1) ski*aki
La tu intervertis les k et les i dans la deuxieme somme si tu n'es pas convaincu mais ça s'annule
Dis toujours comment tu avais fait, si c'est une bonne méthode, peut être même plus rapide, c'est bête de s'en priver à cause d'une erreur de calcul.
sais-tu comment on montre que c'est un automorphisme orthogonal pour la 4)a) ? Pour le début de la question c'est bon, mais là je bloque.
f est une endomorphisme orthogonal ssi pour tout x ||f(x)||=||x||, ça te dit quelque chose ou je délire ? (j'ai un doute maintenant ^^)
Aller c'est partit alors, on va le finir ce DM !
Donc tu as du montré que ||MU||=|M| juste avant, donc tu as bien un endo/automorphisme orthogonal ?
Ok, donc c'est bon il est fini, ou au contraire il en reste beaucoup ?
La 4)b) t'as une idée comment procéder ?
Non, mais j'suis en train de chercher.
Il reste un exo avec 3 questions, un truc avec des noyaux et des images, horrible.. TT
Magnifique tu veux dire, l'algèbre c'est beau.
Cependant je dois t'abandonner au combat, j'ai cours demain. Bon courage pour finir ça, et si tu as d'autres questions n'hésite pas à les poser dans un nouveau post pour attirer l'attention des quelques correcteurs encore présents (si tu as des question pour l'exo qu'il reste après je veux dire).
Pour la 4)b), petit indice avant de partir, on veut montrer AtA=In.
En considérant M=Eij j'ai réussi à montrer que AtA n'a que des 1 sur la diagonale. Reste à montrer les 0. Y a surement plus rapide pour montrer tout d'un coup. Bon courage.
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