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Produit scalaire- Forme quadratique
Bonsoir,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice d'algèbre multilinéaire.
Merci d'avance.
En fait je veux connaître la nature d'une surface définie par : F(x,y,z)=2xy+2yz+2zx+2x-1 dans un repère (O, i ,j, k) de l'espace affine euclidien de dimension 3.
J'ai ainsi extrait la forme quadratique associée q(x,y,z)=2(xy+yz+zx) ,la forme linéaire l(x)=2x et la constante c=-1.
Pour continuer avec les calculs, je voudrais savoir si ma forme quadratique est un produit scalaire :
J'ai pu écrire q(x,y,z)=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²-2(x²+y²+z²) ...
Je ne sais pas vraiment si je dois m'arrêter à ce niveau d'écriture sous forme de somme de carrés pour conclure que ce n'est pas un produit scalaire vu que la signature est (3,3)...
salut
une signature (3, 3) est évidemment fausse en dimension 3 ...
Bonsoir,
Merci bien, c'est après avoir lu le cours que j'ai vraiment compris cela.
En utilisant la méthode de réduction de Gauss, j'ai obtenu que la forme quadratique peut s'écrire sous la forme q(x,y,z)=½(x+y+2z)²-½(y-x)²-2z²
Ce qui conduit à la signature (1,2) différent de (3,0) : q n'est donc pas un produit scalaire car elle n'est pas définie positive.
Je ne vois vraiment pas comment continuer avec la méthode que vous avez commencé... J'écris aussi F(x,y,z) comme somme des carrés ?
Je ne vois vraiment pas comment continuer avec la méthode que vous avez commencé...
Bonjour,
En employant la grosse artillerie.
On a vu que la signature de la partie quadratique est (1,2).
On peut voir aussi que la signature de la forme quadratique homogénéisée
est 1,3.
Il s'agit donc d'une quadrique propre non réglée, coupée par le plan à l'infini suivant une conique propre. C'est un hyperboloïde à deux nappes.
De façon plus terre-à-terre, on commence par centrer la conique en déterminant son centre et en faisant une translation pour amener l'origine au centre. On décompose en carrés la partie quadratique (déjà fait) et un changement de variables linéaire met l'équation sous forme réduite, du genre . Dans le catalogue des formes réduites, on retrouve bien l'hyperboloïde à deux nappes.
!
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