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Niveau maths sup
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produits de matrices 3*2 et 2*3

Posté par
garnouille
21-05-22 à 09:03

Bonjour,

voici l'exercice sur lequel je bloque :

A est une matrice 3*2
B est une matrice 2*3
on sait que (AB)2 = AB , montrer que BA = I2

(AB)2 = AB donc AB*AB = AB ou encore A*(BA)*B = AB
on "voit" bien que BA=I2 est une condition suffisante mais pourquoi est-elle nécessaire ?

merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 10:17

salut

on peut :

écrire  A =

a  b
c  d
e  f

et B =

g  h  i
j   k  l

et résoudre le système (AB)2 = AB

on peut considérer les morphismes associés aux matrice A et B et raisonner en considérant noyau et image sachant que AB = p  est un projecteur ...

Posté par
Rintaro
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 10:20

Bonjour,

c'est faux. As-tu recopié correctement ton exercice ?

A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} ~~\text{et}~~ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = (AB)^2 ~~\text{mais}~~ BA = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq I_2

N'as-tu pas de conditions d'inversibilité pour AB ?

Posté par
Rintaro
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 10:20

Oups je n'avais pas vu le message de carpediem, désolé...

Posté par
carpediem
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 10:24

pas de pb Rintaro

ton intervention est plus radicale ... mais très efficace !!

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 17:56

merci beaucoup pour vos interventions

effectivement, j'ai mal lu l'énoncé : A et B sont deux matrices de rangs 2, je vais donc revoir les propriétés du rang sur la multiplication des matrices

je donne un coup de main à un élève de Maths Sup et je n'ai aucune connaissance sur les "projecteurs" : je vais essayer de travailler cette partie du cours

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 21-05-22 à 18:20

Bonsoir,

Pas besoin de savoir ce qu'est un projecteur. On a A(BA-I_2)B=0, et A et B sont de rang 2

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 00:56

je ne trouve pas en quoi le rang des matrices A et B va m'aider à trouver la réponse à la question....

suis bloquée...    

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 06:39

Bonjour garnouille

Le rang de ^t A A est égal à celui de A. En déduire pourquoi l'écriture (^t A A)^{-1} (^t A) a un sens et en tirer toutes les conséquences sur l'écriture de GBZM.
Idem pour B.

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 08:22

Ce n'est pas du tout ce vers quoi j'essayais d'aiguiller !

Simplement, si u, v, w sont trois application linéaires telles que uvw=0, que u est injective et w surjective, que peut-on dire de v ?

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 08:34

merci à tous les intervenants !

tA*A étant une matrice 2*2 de rang 2, elle est inversible et son inverse est une matrice 2*2

de plus tA est une matrice 2*3 donc le produit (tA*A)-1 tA existe, on peut donc multiplier à gauche chaque membre de l'égalité obtenue par GBZM :

A*(BA - I2)*B = 02


( tA*A)-1 tAA*(BA - I2)*B = (tA*A)-1 tA*02 = 02

(BA - I2)*B = 02

avec un raisonnement analogue sur B, on obtient

BA - I2 = 02 d'où BA = I2

est-ce correct ?

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 08:43

GBZM @ 22-05-2022 à 08:22

Ce n'est pas du tout ce vers quoi j'essayais d'aiguiller !


Oui, mais ça donne explicitement un inverse, même si ce n'est pas demandé. Je trouve que c'est intéressant

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 08:50

je ne maîtrise pas le cours, il faut que je revois les liens entre le rang et l'injectivité et/ou la surjectivité...

encore merci à TOUS

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 08:52

garnouille, tu peux aussi montrer qu'une application linéaire injective(resp. surjective) est inversible à gauche(resp. à droite).

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 09:19

garnouille @ 22-05-2022 à 08:50

je ne maîtrise pas le cours, il faut que je revois les liens entre le rang et l'injectivité et/ou la surjectivité...

encore merci à TOUS


Ce n'est pas très compliqué. Une application linéaire (dimension p vers n) est surjective si son rang est égal à n. Si une application linéaire est surjective, alors sa transposée est injective.

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 09:24

garnouille @ 22-05-2022 à 08:50

il faut que je revois les liens entre le rang et l'injectivité et/ou la surjectivité...

Oui, ça me semble indispensable de comprendre ça. Ce n'est pas dur : une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est nul, c.-à-d. si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace de départ ; une application linéaire est surjective si et seulement si son image est l'espace d'arrivée, c.-à-d. si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivée. (Ici tous les espaces sont de dimension finie).

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 09:33

Excuse-moi GBZM pour mes interventions, surtout qu'elles sont moins efficaces que les tiennes!

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 10:33

À titre très personnel, j'ai apprécié toutes vos interventions, elles se complètent sont faites dans le respect des autres … ça m'a permis d'avancer malgré 11h de décalage horaire !…

Cette fois, je vais (tenter de) retenir le lien entre rang et injection/surjection !

Posté par
carpediem
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 11:10

de rien ...

je t'ai proposé une réponse très naïve (et fastidieuse !!) valable en petite dimension !!!

parler de projecteur était juste là pour voir avec l'idée de noyau et d'image donc de rang ... mais si tu ne connais pas ...

je voulais en fait te proposer ensuite ce que GBZM a donné et qui m'a devancé ...

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 12:21

Une petite mise en garde : rien dans l'énoncé n'indique sur quel corps on travaille. Supposons qu'on travaille sur \mathbb F_2, le corps à deux éléments,  et soit A=\begin{pmatrix} 1&0\\1&1\\1&1\end{pmatrix}. Alors A est de rang 2, mais le produit A^{\mathsf T}A n'est pas inversible !
La voie que j'ai suggérée n'a pas besoin d'hypothèse sur le corps.

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 13:17

Génial GBZM! Effectivement pour rg(A)=rg(^t AA), j'avais supposé R comme corps de base. Et en plus, si on veut proposer à garnouille cette méthode, il faudrait faire démontrer cette propriété…J'avais aussi pensé à un contre-exemple dans C(genre A avec des i et des 1, pour avoir un rang nul à la fin par exemple…
Bref, rien à dire, les pistes de carpediem et GBZM sont clairement meilleures…

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 15:13

Sur \mathbb C, on peut utiliser A* A (où A^* est la matrice adjointe ou transconjuguée).

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 15:13

A^*A

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 15:59

Merci GBZM. Peut-être qu'il existe alors une formule générale sur un corps quelconque?

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 16:16

Non, je ne pense pas. C'est très lié au produit scalaire.

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 18:49

Encore merci pour toutes ces remarques.

Moralité : il faut bien lire les consignes !

produits de matrices 3*2 et 2*3

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 22:47

encore une question et d'avance merci
je crois que je me suis pris les pieds dans le tapis avec les dimensions....:


Soit u l'application linéaire associée à A matrice 3*2
u est une application de 2 dans 3
comme rg(A) = 2 (= n) , u est injective et donc
"si A*M = 03 alors M= 03 "

comment  justifie-t-on la propriété entre les guillemets ?
je n'ai rien trouvé dans le cours

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 23:03

Bonsoir garnouille

Si je peux me permettre, injective te donne l'existence d'un inverse à gauche. Il s'agit même d'une équivalence(très bon exercice, car tu verras comme GBZM l'a précisé, qu'on n'a pas besoin de travailler sur un corps particulier).

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 23:06

Je te dis cela car ton exercice ne demande pas d'avoir un inverse explicite, donc on s'en fiche. Je t'ai donné une méthode donnant un inverse explicite, MAIS :
- il te faut démontrer une propriété pas évidente pour ton élève à mon avis
- ce n'est valable que sur R
Donc, tu vois….

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 23:07

Tout simplement en utilisant le fait que "injectif" pour une application linéaire veut dire "de noyau nul". autrement dit Ax=0 entraîne x=0. Il me semble que ça, c'est dans tous les bons cours.

Il reste un tout petit peu de travail pour en déduire "Si AM=0, alors M=0"

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 23:10

Pas besoin de faire intervenir un inverse à gauche (je viens de voir les messages de AitOuglif).

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 22-05-22 à 23:23

Ah oui en effet!!
En fait, cette histoire d'inverse est un fiasco décidément!

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 00:11

Citation :
o en utilisant le fait que "injectif" pour une application linéaire veut dire "de noyau nul". autrement dit A*x=0 entraîne x=0. Il me semble que ça, c'est dans tous les bons cours.


oui, oui, ça je comprends bien pour "x"  vecteur colonne 3*1 ici mais pour une matrice  M de taille 3*3 ?

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 00:12

oups, x veteur colonne 2*1

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 00:15

Que dire de l'image de M si AM=0?

Posté par
garnouille
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 00:26

Citation :
Que dire de l'image de M si AM=03?


en fait, je ne sais plus trop "qui est qui" !

A est une matrice 3*2 danc l'application est de 2 dans  3

M n'est pas un vecteur de 2 mais une matrice 3*3, du coup, je ne vois pas comment faire le lien entre M et l'application représentée par A

Posté par
AitOuglif
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 06:06

Bonjour
Je ne vois pas ce qui te pose problème.
Si AM est la matrice nulle de dimension 2, alors pour tout vecteur x à 2 lignes et 1 colonne, AMx=A(Mx) est le vecteur nul à 2 lignes et 1 colonne.

Posté par
GBZM
re : produits de matrices 3*2 et 2*3 23-05-22 à 08:32

Ou alors : une matrice à trois colonnes est composée de trois vecteurs colonnes. On peut appliquer le Ax=0 \Rightarrow x=0 à chacun de ces vecteurs colonnes.



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