Pardon d aussi appartient à {1,2..,9} .

Salut,

J'ai trouvé une manière de faire à la main... mais il faut quand même traiter pas mal de cas...

Je mets ça en forme et je te poste tout ça.

à+

Bonjour master_och;
En écrivant tu as
Ainsi je crois que le probléme revient à dénombrer l'ensemble en tenant compte bien entendu des répititions.

Rebonjour

Pour elhor_abdelali t'as tout à fat raison (d'ailleur je crois que c'est la même méthode que cinnamon à utilisé) mais comme il vient de dire il y reste toujours beaucopu de cas  à vérifier donc c'est à vous maintenant de determiner n .

Personnellement je préfére toujours utiliser la programmation quand c'est possible au lieu d'effectuer un raisonnement mathématique, donc j'avoue que dés que j'ai vue cette énigme je me suis plancher directement sur la programmation sans essayer de faire aucun raisonnement mathématique.

Pour vous encourager à compléter vos raisonnement les solutions ne depasseront pas les 15 solutions ou autrement dis n<=15.
bon courage   

a*c et b*d ont même chiffre des unités donc a*c-b*d est un multiple de 10
montrons qu'en réalité a*c = b*d :
  ab*cd = (10*a+b)(10*c+d) = 100*a*c + 10*(a*d+b*c) + b*d
or b*d<=81 donc le nombre de dizaines de ab*cd N1 vaut:
- au plus J1 = a*c*10+(a*d+b*c)+8
- au moins I1 = a*c*10 +(a*d+b*c)
de même le nombre de dizaines de ba*dc N2 vaut :
- au plus J2 = b*d*10 + (b*c+a*d) + 8
- au moins I2 = b*d*10 + (b*c+a*d)

pour avoir l'égalité N1 = N2 un condition nécessaire est :

[I1,J1]et[I2,J2] sont d'intersection non vide
ce qui peut se traduire de façon simple par J1 >= I2 et J2 >= I1
donc J1-I2 >=0 et J2-I1 >= 0
donc 10*(a*c-b*d)+8 >=0 et 10*(b*d-a*c)+8 >= 0
or a*c-b*d est un multiple de 10 donc a*c = b*d

réciproquement si a*c = b*d il est clair que a,b,c,d sont solutions

ce qui réduite le champ de recherche.

Si on élimine les solutions évidentes du type a,b,b,a (car ab et cd différents) on a que les solutions sont avec a,b,c,d distincts donc
ou bien a=1 et c n'est pas premier (cas 1)
ou bien aucun des quatre n'est premier ni ne vaut 1, par l'unicité de la décomposition en facteurs premier de a*c (=b*d) (cas 2)

l'ensemble des nombres non premiers entre 1 et 9 est
{1;4;6;8;9}

on traite le cas 1 : on obtient pour a,b,c,d (de tête)
(1,2,4,2);(1,2,6,3);(1,3,6,2);(1,2,8,4);(1,4,8,2)
ontraite le cas 2 on obtient : aucune solution (on élimine les cas par raisonnement de décomposition en facteurs premiers)

donc j'obtiens n= 5.

Bonjour master-och

Pour ma part, je trouve que n=12.
Veux-tu que je poste mes réponses sur le forum ?

Kaiser

Ton équation revient à:

.









.

D'où .

Voilà qui simplifie pas mal le boulot.  

Ensuite on fait une disjonction de cas toute bête (je pense que c'est optimisable) :

  (1)
  (3)
  (5)
  (8)
(10)
  (12)
  (14)
  (18)
  (21)

A ces 21 cas, on peut ajouter les 20 cas obtenus en permutant a et c.
(Donc on a déjà 41 cas).

On a déjà traité le cas (a=1 et c=2) donc aussi le cas (a=2 et c=1).

Commençons donc par (a=2 et c=2) :

  (24)
  (26)
  (30)
(32)
  (36)
  (38)
  (42)
  (45).

  (49)
  (53)
(55)
  (59)
  (61)
  (65)
  (67)

  (70)
(72)
  (76)
  (78)
  (80)
  (83)

(84)
  (86)
  (88)
  (90)
  (92)

  (95)
  (97)
  (99)
  (101)

  (102)
  (104)
  (106)

  (107)
  (109)

  (110).


On obtient donc 110 cas. Il faut multiplier par 2 pour ajouter les cas où on permute a et c puis enlever les 9 cas où a=c.

J'obtiens donc 211 cas .
Je n'ai pas vérifié, c'est sans doute truffé d'erreurs  mais tout est fait à la main .

à+

Bonjour Master Och,

Je trouve aussi une résolution à la main.

Les conditions sont :
(en notant =/= pour différent)

a =/= b
c =/= d
si a = c, alors b =/= d
si b = d, alors a =/= c
si a = d, alors b =/= c
si b = c, alors a =/= d

Ensuite l'équation nous amène à :
100 (a*c) + b*d = 100 (b*d) + a*c

Comme a b c et d sont compris entre 1 et 9 on a forcément :

a * c = b * d

Tous les quadruplets qui répondent aux conditions ci-dessus sont donc solution. A la main ce ne doit pas être bien compliqué. Affaire à suivre donc.

Tu vois qu'on peut y arriver sans programme, et surtout dans un premier temps dégrossir l'exercice pour, même dans le cas de l'utilisation d'un programme, arriver à simplifier les conditions.

Oups,

il s'en est passé des choses pendant que j'écrivais...

En plus, je n'ai pas tenu compte de abdc et ab

Bel effort de Latex tout de même !

Merci kaiser .

L'égalité a * c = b * d nous amène vite aux conditions complémentaires suivantes :
a =/= d
c =/= b

Pour l'instant j'en suis donc à
0 solutions où 2 nombres sont égaux à 1
6 solutions où 1 seul nombre est égal à 1.

A suivre

Et pour simplifier encore :
Aucune solution pour un nombre premier supérieur oou égal à 5 : donc ni de 5 ni de 7.

A moins de m'être trompé, je trouve n = 14.

Je donnerai mes solutions plus tard mais je dois quiter.

Bye Bye

Oups, je m'étais trompé !
Après avoir revérifié, je me rends compte que j'en avais oublié 2.
Ainsi, je trouve n=14 comme savoie !

trés bien savoie et Kaiser vous avez tout à fait raison!!
Il vous reste  à afficher vos solutions ...

Voici ce que je trouve :



Kaiser

Bravo kaiser se sont tous les solutions possibles.
Encore une petite question t'as utilisé un programme ou c'est un raisonnement mathématiques ??

Voici les 14 solutions mises dans l'ordre : a - c - b - d (vérifiant donc a*c = b*d, et vérifiant surtout les conditions de l'énigme)

1 4 2 2
1 6 3 2
1 6 2 3
1 8 4 2
1 8 2 4
1 9 3 3
2 6 4 3
2 6 3 4
2 8 4 4
2 9 3 6
2 9 6 3
3 8 4 6
3 8 6 4
4 9 6 6

Merci à Kaiser de les avoir mis sous la forme ab .  cd  =  ba  .  dc, et à Master-och pour cette nouvelle énigme... à la main !

Mais je t'en prie !

master_och> je suis plus parti sur un raisonnement mathématique.
En effet, j'ai abouti tout d'abord à la simplification ac=bd de la même manière que l'ont fait les autres précédemment.
Ensuite, j'ai recherché tous les entiers inférieurs à 81 qui sont le produit de deux entiers inférieurs à 9 (en dressant la fameuse table de multiplication) et gardé seulement ceux qui s'écrivaient de plusieurs façons différentes.

Et puis merci à toi pour cette enigme !

Kaiser

Bah bravo savoie, mais je veux juste que tu saches que je ne suis pas contre la résolution en suivant un raisonnement mathématique"à la main", c'est juste que je préfére utiliser la programmation quand elle peut accelerer un peu la réponse.

J'ai pas vu le post de 23:02 de kaiser , Merci à toi aussi pour ta participation .

Mais je t'en prie !