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Programmation linéaire
Bonsoir à la communauté ,
je suis un débutant (pour ne pas dire pire) en optimisation , je suis en train de voir la programmation linéaire et l'on m'indique une proposition :
Soit f une fonction linéaire tel que f : C -> 
oú C est un polyèdre convexe fermé et inf f (sur C) 
-oo alors 
x
C tel que f(x) = inf f (sur C).
J'ai essayé : aucune idée et intuitions ( ça nécessite surement un certain niveau) .
Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance à la communauté.
Bonsoir jackobenco.
Je peux toujours t'indiquer les étapes de démonstration, tu pourras essayer de la faire. C'est plus long que compliqué.
Tout d'abord, on va préciser que C est un convexe fermé pris dans un ; si c'est autre chose, tu voudras bien préciser.
Préliminaire : on pose . Comme
est linéaire, alors
et donc
.
1ère étape : construction d'une suite minimisante c'est-à-dire
.
Comme est fini (puisque
), alors
.
En prenant , il existe une suite
telle que
2ème : montrer que est bornée. Se fait par l'absurde.
3ème étape : extraire de une sous-suite convergente.
4ème étape : passer à la limite.
Dans le cas où f n'est pas linéaire mais strictement convexe, il y a une 5ème étape : l'unicité de la limite.
Ah d'accord merci , cependant je comprends pas pourquoi le fait que f soit linéaire sur C ça implique qu'il existe vo tel que f(vo) +oo.
Il me semble que tu as écrit f : C -> donc non seulement il existe, mais en plus c'est
(Le fait que f soit linéaire n'entre en fait pas en ligne de compte)
Pour l'étape 2 , l'idée est d'arriver sur une absurdité telle que f(Xno)= +oo ou (-oo) ?
Je n'attends pas la correction lol .
bon je t'avoue effectivement , j'ai pas le niveau pour faire ces questions j'ai beau essayé , impossible 
Pour la 2ème étape, si n'est pas bornée, alors il y a une sous-suite
telle que
.
Comme et linéaire alors
, ce qui contredit
.
Évidemment, si le convexe est déjà borné, on zappe cette étape.
Les étapes 3 et 4 sont triviales. Pour la 4, évidemment, il faut dire que est continue pour conclure (ce qui présuppose qu'on est en dimension finie pour pouvoir affirmer sans ambages la continuité de f, sinon, il fallait avoir supposé dans l'énoncé que
était continue : c'est pour cela que je t'ai demandé de préciser au début)
bonsoir malgré tout , qu'est-ce qui nous garantit que la suite Vn converge , on a juste une suite extraite qui converge dans C. ça nous indique rien sur Vn
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