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Projection / Espace Vectoriel
Bonjour, pouvez-vous m'aidez à comprendre la question: MERCI D'AVANCE !
SUJET:
On note E l'ensemble des fonctions de R dans C continue sur R et 1-periodique. On note
la fonction constante et égale à 1. Pour f dans E on définie une nouvelle fonction T(f) par:
POUR TOUT x dans R,
QUESTION 1: Montrer que E est un C espace vectoriel
RAS
Question 2: Montrer que T est un endomorphisme de E
RAS
Question 3: Soit l'application de E dans C definie pour tout f dans E par
. On admettra que
est linéaire. On note H = ker(
). Montrer que H est un hyperplan stable par T
RAS (noyau forme linéaire non nulle et manipulation simple)
Question 4: On désigne par P la projection sur parallèlement à H
determiner pour f dans E l'expression de P(f) à l'aide de et
Je ne sais vraiment pas comment m'en sortir et ça me bloque pour la suite !
S'il vous plait aidez moi.
Merci d'avance !
Bonsoir
En admettant que et
sont supplémentaires (ce qui n'est pas dur à montrer)
f peut s'écrire comme une somme unique g+h où g est constante, et h est d'intégrale nulle entre 0 et 1
Certes, j'admets donc le fait qu'ils sont supplémentaire entre eux (H et ) pour le moment (je le montrerais !)
Donc la projection serait la fonction g dont tu me parle c'est à dire celle qui est constante pourtant je dois l'exprimer avec ce qui me surprend beaucoup !
Peut tu m'éclaircir un peu plus, j'ai du mal à saisir ! S'il te plaît !
En fait, pas besoin de le montrer, c'est déjà admis dans l'énoncé (puisqu'on parle de projecteur entre les deux sous-espaces vectoriels), mais la démonstration est simple
f doit être décomposée en g constante, et en h d'intégrale nulle entre 0 et 1
On sait que l'intégrale de f entre 0 et 1 vaut mais vaut aussi
Ah oui bien vu !
Je pense t'avoir compris puisque h est d'integrale nul entre 0 et 1. Ainsi vaut l'intégrale de g entre 0 et 1.
On peut donc en déduire g en fonction de
et e0 par primitive.
Est ce bien cela que tu voulais faire ? Et on a donc la projection souhaité !
en effet l'intégrale de g entre 0 et 1 vaut l'intégrale de f entre 0 et 1.
Or g est constante, donc elle est de la forme
donc que vaut ?
Encore un derniers point qui m'échappe g0 vaut alors phi(f) mais donc la projection ne dépends pas de e0 est ce normal ?
L'énoncé est trompeur si c'est le cas !
Re, je repasse ici par hasard : si vaut
alors
est la fonction constante égale à
Donc comment on l'écrit somplement ? C'est là qu'intervient
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