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projection orthogonale d'un hyperplan
Bonjour tout le monde,
je fais face à un problème assez délicat (du moins pour moi)
Voici l'énoncé :
On se place dans un 
d et on considère l'hyperplan a
d'équation <a,x> = 0 pour un vecteur a unitaire donné. Donnez la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur cet hyperplan et de la symétrie orthogonale par rapport à cet hyperplan. Donnez le détail dans le cas particulier du vecteur a = (1,...,1).
J'arrive facilement à trouver la base canonique pour 3 où l'hyperplan est tout simplement le plan et où l'équation est bien visible : x1 + x2 + x3 = 0
. Je cherche une base, je l'orthonormalise etc .. mais pour un hyperplan dont je ne connais la dimension, je ne sais plus rien faire :s
Merci pour ta réponse Thierry ! Je vais t'embêter un peu plus car je ne connais pas ni cette syntaxe ni son sens Je débute en algèbre ..
La clé de tout ça est de savoir écrire la projection orthogonale d'un vecteur sur la droite engendrée par le vecteur unitaire
.
Bonjour
par définition, un hyperplan est un sous espace de dimension un de moins que l'espace qui le contient
et l'équation est bien visible : on te la donne dans l'énoncé, c'est ...
si tu cherches le projeté d'un vecteur u sur cet hyperplan, c'est donc un vecteur x = p(u) qui vérifie à la fois (x est dans l'hyperplan) et u - x = ka, k réel (u - p(u) orthogonal à l'hyperplan, donc colinéaire à a)
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