ex c'est "e multiplié par x" ou c'est e^x ?

c'est exp x

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [(ln((e^x-1)/x))/x]  est de la forme indéterminée 0/0.

--> application de la règle de l'hospital.

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [(x/(e^x-1))* ((x.e^x-e^x+1)/x²)/1]

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [(e^x.(x-1)+1)/(x.(e^x-1))] est de la forme indéterminée 0/0.

--> application de la règle de l'hospital.

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [((x-1).e^x+e^x)/((e^x-1)+x.e^x)]

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [xe^x/((e^x-1)+x.e^x)] est de la forme indéterminée 0/0.

--> application de la règle de l'hospital.

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [(e^x + x.e^x)/(e^x + e^x + x.e^x)]

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [(1 + x)/(2 + x)] = 1/2

Donc f(x) peut être prolongée en 0 par f(0) = 1/2
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Sur R*:

f(x)= (1/x).ln[(e^x-1)/x]

f '(x) = ((x²/(e^x-1))(x.e^x-e^x+1)/x² -ln((e^x-1)/x))/x²

f '(x) = ((1/(e^x-1))(x.e^x-e^x+1) -ln((e^x-1)/x))/x²

lim(x -> 0) f '(x)  est de la forme indéterminée 0/0.

--> application de la règle de l'hospital...

Pas le courage d'aller au bout...

On devrait arriver à ce que lim(x -> 0) f '(x) existe (et est la même à gauche que à droite de 0)

On concluera alors que f(x) prolongée en 0 par f(0) = 1/2 est dérivable sur R.
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Sauf distraction.  

qu'est ce donc que la règle de l'hospital? je ne l'a connait pas

Cette règle n'est pas connue en Terminale.
Probablement étudiée plus tard.

En résumé:

La règle du Marquis de Lhospital dit que:

Si est de l'une des formes indéterminées ou , alors on a:



où et sont respectivement les dérivées premières par rapport à x des fonctions f(x) et g(x).
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