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prolongement de fonction par continuité

Posté par
robby3 18-02-06 à 12:54

bonjour à tous, voila un exercice qui me pose probleme(encore un) et que je trouve bizarre:
Soit g la fonction définie sur R+\N par:
pour tout n>0,quelquesoit x appartenant à ]n,n+1[ g(x)=(2n+2-(x+n))/2^(n+1)

1)montrer que l'on peut prolonger g en une fonction g* continue sur R+: j'ais vu que g était derivable sur R,g(0)=lim x->0g(x)=(n+2)/2^(n+1)
g'(0)=-1/2^(n+1)
Vu que g est continue sur R on peut restreindre le champ à R+.(a moins que je n'ais rein compris à la question).

2)Montrer que si une fonction est continue sur R et srtictement croissante sur ]n,n+1[ nappartenant à Z alors elle est strictement croissante sur R:
la je pense qu'il faut utiliser le fait que si f est continue sur [a,b] et strictement croissante sur ]a,b[ alors elle est strictement croissante sur [a,b].

Le théorème de la limite monotone appliqué à f sur ]a,b[ montre que f admet une limite à gauche en b et que cette limite est la borne supérieure des valeurs atteintes par f sur l'intervalle ouvert.
Or on sait également que f est continue en b donc cette limite vaut aussi f(b).
Donc f(b)>=f(x) pour tout x dans ]a,b[.

Mais si il existe x dans ]a,b[ tel que f(x)=f(b) alors f est constante sur l'ensemble [x,b] ce qui est contradictoire avec sa stricte monotonie sur ]a,b[.

Donc f(b)>f(x) pour tout x dans ]a,b[ et par conséquent f est strictement croissante sur ]a,b].

On fait de même pour l'autre côté et ensuite on raccorde les différents segments.

3)Montrer que g* admet une fonction réciproque.Déterminer (g*)^-1.

mon probleme est que pour la deuxieme question je ne vois pas trop comment utiliser le theoreme que j'ais cité,dans le cas present.Et la derniere question je ne comprends vraiment pas ce que l'on me demande.

Merci de vos reponses.:(

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : prolongement de fonction par continuité 18-02-06 à 13:47

Bonjour,

"j'ai vu que g était dérivable sur R"
C'est impossible !
g n'est même pas définie sur \mathbb{R^+}
L'énoncé est pourtant clair : g est définie sur \mathbb{R^+}\setminus\mathbb{N}

Il faut montrer que 3$\lim_{x\to n^-}g(x)=\lim_{x\to n^+}g(x) et on peut alors poser 3$g^*(n)=\mathrm{cette limite}
Nicolas

Posté par Arctg (invité)1re question 18-02-06 à 14:52

Tout d,abord il faut voir que la fonction g est definie par segement sur R+/N, c'est a dir la fonction g sur ]n,n+1[ est differente de celle sur ]n+1,n+2[ donc il faut montrer 2 chose
1- la continuite sur le point (n+1)
2- la continuite sur 0

Pour 1 :
g(x)= g(n)(x)= n+2-x/2^(n+1)x]n,n+1[  et g(x)= g(n+1)(x)= n+3-x/2^(n+2)x]n+1,n+2[
alors lim g(n)(x)xn+1 = 1/2^(n+1) et lim g(n+1)(x) xn+1 = 1/2^(n+1)
ce qui prouve que la limite a droite est egale la limite a gauche de la fonction g en (n+1) alors la fonction g* sera definie comme suit n>0 et x]n,n+1[ g*(x)= g(x) et g*(n)=1/2^n

Pour 2 :
g*(0)= lim n0 x0 g(n)(x)= 1

Posté par
robby3re : prolongement de fonction par continuité 18-02-06 à 16:42

salut à toi Nicolas_75 et à toi aussi, Arctg,j'en profite dés à present pour vous remercier de vos reponses notamment toi Nicolas_75 qui m'a aidé sur plusieurs exercices,avec une patience énorme.
Tout d'abord je suis vraiment désolé des erreurs abominables que j'ais écrites.En ce qui concerne la reponse de Arctg,je sais maintenant pourquoi je n'arrive pas à faire cet exercice, on n'a meme pas vu la continuité par segment,mais je crois comprendre la reponse.
Merci beaucoup à vous deux.

ps:est ce que je pourrais avoir une piste pour la 2eme question pour savoir si ce que j'ais marqué est correct?MERCI d'avance.:

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : prolongement de fonction par continuité 18-02-06 à 16:47

Je t'en prie.

Posté par
robby3re : prolongement de fonction par continuité 22-02-06 à 20:39

rebonjour, je ne parviens toujours pas à repondre entierement à la question n°2, c'est pourquoi je demande une nouvelle fois votre aide.
Merci d'avance de vos reponses.:(

Posté par
robby3re : prolongement de fonction par continuité 24-02-06 à 21:26

Salut à yous,j'aurais vraiment besoin d'un gros coup de pouce pour arriver à faire la 2eme et 3eme question,mais surtout pour la deuxieme question car la 3eme se deduit de ce que l'on a fait juste avant.
J'espere que quelqu'un pourra de nouveau m'aider.Merci quand meme à ceux qui y auront reflechi.

Posté par
robby3re : prolongement de fonction par continuité 25-02-06 à 19:24

salut àtous,j'ais besoin d'aide,un gros coup de main serait le bienvenue pour m'aider.
MERCI quand meme à ceux qui ont cherché.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : prolongement de fonction par continuité 26-02-06 à 03:58

2)

Méthode 1
Ton application du théorème de la limite monotone me semble juste.

Méthode 2 : vive les 3$\vareps !

On cherche à montrer :
Si f est strictement croissante sur ]a;b[ et continue sur [a;b], alors est elle est strictement croissante sur [a;b].

On peut même prendre des hypothèses moins fortes :
Si f est strictement croissante sur ]a;b[ et continue en a et b, alors est elle est strictement croissante sur [a;b].

Il nous reste à montrer :
(1) pour tout x de ]a;b[, f(a) < f(x)
(2) pour tout x de ]a;b[, f(x) < f(b)
(3) f(a) < f(b)

Montrons (1).

Supposons par l'absurde que :
\exists x_0\in ]a;b[\;\mathrm{tq}\;f(a)\ge f(x_0)

Ramenons-nous à une inégalité stricte. En raison de la stricte croissance :
f\left(\frac{a+x_0}{2}\right)<f(x_0)\le f(a)
donc f\left(\frac{a+x_0}{2}\right)<f(a)

On choisit \fbox{\vareps = f(a)-f\left(\frac{a+x_0}{2}\right)>0}

f est continue en a, donc \exists\eta>0,\;\fbox{\eta<\frac{x_0-a}{2}}\;\mathrm{tq} :
\forall x\in[a;a+\eta],\;\left|f(x)-f(a)\right|<\vareps

En particulier :
\left|f(a+\eta)-f(a)\right|<\vareps

Alors :
f(a)=f(a)-f(a+\eta)+f(a+\eta)\le\left|f(a)-f(a+\eta)\right|+f(a+\eta)<\vareps+f(a+\eta)
Donc \fbox{f(a+\eta)>f(a)-\vareps=f(a)-f(a)+f\left(\frac{a+x_0}{2}\right)=f\left(\frac{a+x_0}{2}\right)}

Or \fbox{a+\eta<a+\frac{x_0-a}{2}=\frac{a+x_0}{2}}

Les deux encadrés juste au-dessus contredisent la stricte croissance de f sur ]a;b[. Absurde.

Sauf erreur.

Nicolas




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