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Prolongement par continuité

Posté par RisingSun (invité) 09-01-05 à 22:42

Bonjour,

Comment montrer que :

\int_0^{\pi} (\frac{t^2}{2\pi}-t).cos (nt) dt = \frac{1}{n^2} ?

Merci de m'aider!

Posté par RisingSun (invité)désolé pour le topic! 09-01-05 à 22:44

oups!!! je voulais mettre le topic "intégrales de cos", mais j'vais fait un autre post avant!

Posté par miaouzz (invité)aide 09-01-05 à 22:50

il faudrait peut être faire une intégration par partie.

Posté par RisingSun (invité)intégration / dérivation ? 09-01-05 à 22:52

De manière générale, qu'est-ce qu'il faut intégrer et qu'est-ce qu'il faut dériver, quand on fait une intégration par parties ?

Posté par
Victorre : Prolongement par continuité 09-01-05 à 22:54

Il faut en général intégrer ce qui ne complique pas trop l'expression(sin, cos, exp, ...) et dériver ce qui permet de simplifier l'expression (polynôme, ln, ...)
Mais malheureusement, il n'y a pas de méthode générale.
C'est par la pratique qu'on acquiert les réflexes.

@+

Posté par RisingSun (invité)Help! 09-01-05 à 23:26

J'ai commencé comme suit :

Soit I=\int_0^{\pi} (\frac{t^2}{2\pi}-t).cos(nt) dt.

Pour l'intégration par parties, j'ai posé :

u=\frac{t^2}{2\pi}-t et v'=cos(nt).

En dérivant u et en intégrant v', j'obtiens :

u'=\frac{t}{\pi}-1 et v=\frac{1}{a}.sin(nt) .

Ce résultat ne me semble pas aboutir à \frac{1}{n^2}.

Qqun peut m'aider encore svp ?

Seulement, à la fin je trouve :

[cos(n\pi)](\frac{t}{a^2\pi}-\frac{1}{a^2})-\frac{t}{a^2\pi}+\frac{1}{a^2}.




Posté par RisingSun (invité)ordres... 09-01-05 à 23:27

les phrases dans l'ordre sont :

1) Seulement à la fin je trouve...
2) [cos...
3) Ce résultat ne me semble...
4) Qqun peut m'aider ?

Je ne sais pas pourquoi, mais mon texte s'inverse parfois!

Posté par RisingSun (invité)erreur 09-01-05 à 23:39

en fait je viens de me rendre compte d'une grosse erreur !

merci qd meme!

Posté par RisingSun (invité)finalement 10-01-05 à 00:14

en fait j'y arrive pas !

Je me retrouve avec \frac{1}{n^2}.(\frac{-1}{\pi}-\pi cos(n\pi]+1)

Moi je ne veux que \frac{1}{n^2}, pas ce qu'il y a derrière!

Posté par
dad97 Correcteurre : Prolongement par continuité 10-01-05 à 00:50

re,


je pose a=\frac{1}{2\pi} histoire de ne pas se le trimbaler pendant toute l'intégration par partie.

u(t)=at²-t et v^'(t)=cos(nt)
donc u^'(t)=2at-1 et v(t)=\frac{sin(nt)}{n}

\Bigint_0^{\pi}(\frac{t^2}{2\pi}-t).cos(nt)dt=[(at^2-t)\times\frac{sin(nt)}{n}]_0^{\pi}-\Bigint_0^{\pi}(2at-1).\frac{sin(nt)}{n}dt=
=[(at^2-t)\times\frac{sin(nt)}{n}]_0^{\pi}-\frac{2a}{n}\Bigint_0^{\pi}tsin(nt)dt+\frac{1}{n}\Bigint_0^{\pi}sin(nt)dt

En se servant de l'autre topic
=[(at^2-t)\times\frac{sin(nt)}{n}]_0^{\pi}-\frac{2a}{n}\times\frac{1}{n^2}[sin(nt)-ntcos(nt)]_0^{\pi}+\frac{1}{n}[-\frac{cos(nt)}{n}]_0^{\pi}

=[(at^2-t)\times\frac{sin(nt)}{n}-\frac{2a}{n}\times\frac{1}{n^2}[sin(nt)-ntcos(nt)]-\frac{1}{n^2}cos(nt)]_0^{\pi}

alors là on fait le ménage en effet sin(n0)=sin(n\pi)=0

et donc il reste :

=[-\frac{2a}{n}\times\frac{1}{n^2}[-ntcos(nt)]-\frac{1}{n^2}cos(nt)]_0^{\pi}

=[\frac{2a}{n^2}\times tcos(nt)-\frac{1}{n^2}cos(nt)]_0^{\pi}

= \frac{1}{n^2}[cos(nt)[2at-1]]_0^{\pi}

= \frac{1}{n^2}[cos(n\pi)(2a\pi-1)- cos(n\times 0)(2a\times 0-1)]

or 2a\pi-1=0 et cos(n\times 0)=1
d'où \Bigint_0^{\pi}(\frac{t^2}{2\pi}-t).cos(nt)dt=\frac{1}{n^2}


Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Prolongement par continuité 10-01-05 à 00:55

Il fallait biensûr lire en début de topic :

u(t)=at^2-t et v^'(t)=cos(nt)
donc u^'(t)=2at-1 et v(t)=\frac{sin(nt)}{n}

Bonne nuit

Posté par RisingSun (invité)Fin! 10-01-05 à 16:06

Bonjour Dad,

Merci d'avoir cherché et trouvé la solution! Malheureusement pour moi, je n'ai pas été assez courageux/optimiste, et j'avais pas vu ta réponse juste après que tu la mettes sur le forum! Je suis donc parti du site, et j'ai rendu mon devoir, sans trouver pour l'intégrale!

Merci encore de tes aides!


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