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Prolongement par continuité
Bonsoir à toutes et à tous.
J'ai un petit problème dans mon cours.
En effet je cherche à savoir si la fonction définie sur 
* par g(x)=x²sin(1/x) se prolonge par continuité en 0 et si ce prolongement est dérivable sur .
On sait que la limite en 0 est 0 pour cette fonction, on peut la prolonger par continuité en 0 avec g(0)=0.
En ce qui concerne la dérivée, elle n'est pas dérivable en 0. Donc je pense que la fonction est prolongeable par continuité en 0 mais que ce prolongement n'est pas dérivable en 0.
Merci à vous de m'éclairer 
@ bientot
bonsoir, le problème est que en fait je ne vois pas comment le prof a montré que le prolongement n'était pas dérivable en 0.
Pour le prolongement par continuité, je ne sais pas en fait si par exemple pour un controle il suffit de dire que la limite en 0 est 0 et donc qu'on va le prolonger en 0.
Etudions le comportement du taux d'accroissement en 0. Dire que ta fonction est dérivable en 0, c'est exactement dire que ce taux d'accroissement a une limite.
Le taux d'accroissement est (f(x)-f(0))/x = x sin(1/x) (on a pris f nulle en 0).
Ce taux d'accroissement tend vers0 en 0, donc ta fonction prolongée par continuité est dérivable en 0. Elle est même C1 (c facile à vérifier).
Un théorème plus avancé nous dit que si une fonction C1 se prolonge par continuité en un point et que sa dérivée se prolonge par continuité en ce point également, alors la fonction prolongée est C1 et sa dérivée est exactement le prolongement par continuité de la dérivée. C'est justement le cas ici
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