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Prolongement par continuité

Posté par
Kill
21-05-17 à 16:15

Bonjour,

Je souhaiterais juste savoir en quoi consiste "brièvement" le prolongement par continuité en x=a ? Je n'ai pas d'exercice car je suis via le CNED et ce n'est pas abordé dans leurs manuels.

Merci  d'avance !

Posté par
malou Webmaster
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:30

Bonjour
prenons f(x)=x²/x
f n'est définie que sur R* (puisque x=0 est une valeur interdite à cause du dénominateur)

la représentation graphique de f est une droite privée d'un point, puisque pour
x0, f(x)=x

si tu considères g(x) = x définie elle sur R tout entier
elle est continue
elle est égale à f partout où f est définie
on dit que g est un prolongement par continuité de f en 0

g "prolonge" f en 0, mais pas de n'importe quelle manière
de manière à ce que la "nouvelle" soit continue en 0
ça va à peu près ?

Posté par
ThierryPoma
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:30

Bonjour,

Cf. ceci , ou encore ceci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:33

Bonjour

Si on a une fonction f définie sur un intervalle I contenant a, sauf peut-être en a, on se demande s'il existe une fonction F définie sur I qui coïncide avec f sur I privé de a et continue en a.
Pratiquement ça revient à poser F(a)=\lim_{x\to a}f(x) si cette limite existe, et F(x)=f(x) pour x\neq a

Posté par
Camélia Correcteur
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:34

Bonjour à tous, suis en retard!

Posté par
malou Webmaster
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:39

bonjour Camelia....que de 3 minutes !
l'instantanéité et internet....tout à l'heure, y en a un qui a râlé parce que il n'avait toujours pas de réponse moins d'une demi- heure après avoir posté son sujet...

Posté par
ThierryPoma
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 16:49

Bonjour Camélia.

Posté par
Kill
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 18:01

Tout d'abord, merci pour vos nombreuses réponses et la rapidité de celles-ci !

Au final, est-ce que si la limite de f quand x tend vers a par valeur positive et négative est égale à l, alors on peut prolonger f par continuité au point x=a en posant f(a)=l ?

Posté par
malou Webmaster
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 18:07

oui, l'idée est là, sauf qu'en toute rigueur, tu ne peux pas parler de f(a) puis que f n'était pas définie en a "a priori"
regarde, Camelia a employé une autre lettre pour la nouvelle fonction (celle qui est définie en a )

Posté par
Kill
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 18:13

Oui, au final c'est F(a) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 18:46

oui
F est définie par
pour tout xa F(x)=f(x)
et F(a)=\ell= \lim_{x\to a}f(x)

Posté par
Kill
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 19:40

D'accord, merci beaucoup !

Posté par
malou Webmaster
re : Prolongement par continuité 21-05-17 à 20:00



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