Bonsoir, j'ai un petit exo que j'ai fait et j'aimerais bien que quelqu'un me corrige si besoin. Voici l'énoncé:
On pose:
1) Donner le domaine de définition de f.
2) Calculer la limite de f quand x tend vers 0.
3) Peut on prolonger f par continuité le long de l'axe (Oy) ?
4) Calculer les dérivées partielles de f.
5) a)Montrer que
b) A qu'elle condition peut on appliquer le théorème des fonctions implicites (TFI) tel que l'équation définisse y comme une fonction g de x ? Calculer g'.
1) Les fonctions carré, exponentielle et arctan sont définies sur . Ainsi, f n'a de sens que si . Donc le domaine de définition de f est
2)
Soit fixé.
Soit fixé.
Pour ,
(bonus: et la limite quand elle existe ? j'ai l'impression que non)
3) Il s'agit d'abord de voir si:
D'après 2) cela est vrai. Cependant, pour . Donc si l'on veut prolonger par continuité on ne sait pas quelle limite choisir. Donc ce n'est pas prolongeable par continuité. (pour le coup je ne suis pas sur)
4) En tant que composition de fonction partout dérivable sur et f admet des dérivées partielles sur et pour tout on a:
5)a) Soit
De même,
b) On considére l'équation (E): . On peut appliquer le TFI si autrement dit si i.e d'après 5)a)
Dans ce cas le TFI dit qu'il existe de classe C1 tel que . Et le TFI dit que g est dérivable sur et on a:
C'est surtout au niveau de la question 3) et 5)b) que j'aimerais être sur. Pour la 3) savoir si oui ou non on peut prolonger par continuité et pourquoi. Pour la 5)b) être sur que ma rédaction est correcte, que les ensembles sont bons et que mon calcul de g' est bon (car 1 c'est bizarre quand même). Ensuite pour la question 2) j'aimerais savoir si à partir de xce que j'ai fait on peut dire que f n'a pas de limite en (0,0) ?
Merci d'avance de vos réponses.
bon je ne sais pas pourquoi le LaTeX a buggué. Quand c'est [\ ntt?]= c'est pour .
Quand empli c'est pour et à la fin iff
Désolé pour le double post
Bonjour
Le LATEX a quelques ennuis en ce moment... Ne t'inquiète pas!
Alors 2) Pour y différent de 0, ton raisonnement est correct, il n'y a pas de limite quand x tend vers 0, ce n'est pas prolongeable en (y,0).
En (0,0), tu il n'y a pas de limite non plus. Tu peux regarder f(x,x) et f(x,2x) quand x tend vers 0.
5)a) Je ne suis pas sure que ta dérivée par rapport à y soit juste, de toute façon le calcul n'est pas fini. Mais comme tu trouves la suite, c'est peut-être bon... Moi je trouve (de toute façon j'ai refait le calcul)
Si f(x,y)=0, on a donc il suffit de remplacer ci-dessus pour trouver et
C'est OK pour l'application du théorème!
désolé pour le double post. Je m'exprime plus clairement sur le prolongement par continuité:
Si on avait la limite à gauche = limite à droite = a pour y>0 et limite à gauche = limite à droite = b pour y<0 (mais les 4 limites pas forcement égales est ce que on aurait pu prolonger par continuité dans ce cas par:
pour
pour
Oui à toutes les questions sur les limites. En revanche, tu as bien fait d'insister sur l'explicitation su théorème des fonctions implicites, ça ne va pas...
Soit (a,b) tel que f(a,b)=0 et . Le théorème dit seulement qu'il existe un voisinage V de (a,b) tel que pour , l'équation ait une solution unique . Alors g est dérivable et la dérivée est ce que tu dis.
Mais tu ne peux pas affirmer que g est définie sur ... seulement sur un intervalle ouvert contenant a.
ok pour le deuxième post (j'ai bien préciser si on avait. j'ai compris que justement ici on n'a pas... c'ets même ce que j'ai écrit dans mon premier post)
Je connais le TFI mais ici on ne l'applique pas en un point fixé. Mais en tout point de tel que . Donc en fait je dois dire: il existe deux intervalles ouverts I et J contenant respectivement x et y et il existe g une fonction de classe de I dans J tel que:
c'est bien ça ?
Et après on dérive g sur I ?
(en fait pour que ce soit plus clair il vaut mieux fixé un point et conclure par l'arbitraire du point. Un peu comme si par exemple on voulait montrer qu'une fonction h est dérivable sur R. on fixe un réel et on montre que h est dérivable en x_0. Donc h dérivable sur R car est un réel quelconque)
J'aime bien mieux ta description avec . Moi j'ai pris (a,b). mais il est important de garder la relativité... Si , il existe et tels que ... et on dérive g sur . Il y a des cas où on peut aller un peu plus loin, mais ici ça ne me semble pas très utile...
Ok merci effectivement l'indice a et b sur I et J c'est ce qui clochait et m'empecher de comprendre. Ici, I et J dépendent de a et b donc il vaut mieux les indexer
Encore merci et bonne fin de journée
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