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Prolongement par continuité Tietze
Bonjour à tous !
Voici l'énoncé du thm: "Soient (X,d) un espace métrique compact, F un fermé de X et f 
C(F). Alors, f admet un prolongement continue sur X."
Pour la démonstration: On a f est uniformément continue sur F. Soit w un module de continuité de f sur F.
On peut supposer w sous-additive.
Pour xX, on pose g(x) = infyF{f(y)+w(d(x,y))}.
Comment vérifie que g est un prolongement continue de f sur F??
Quelqu'un pourrait m'aide svp ?
Merci d'avance !
salut
calculer g(v) - g(u) pour deux éléments quelconques de X .... et le majorer par quelque chose qui tend vers 0 ....
Bonjour !
Tu oublies de dire que est continue en 0 et
.
Pour montrer que tu utilises la relation
si
et la limite pour
de
Pour la continuité soit .
Par définition de la borne inférieure il existe tel que
.
Comme il vient
.
Par sous-additivité de tu établis
En échangeant tu auras aussi
et tu conclus pour
par continuité de
.
Tu oublies de dire que w est continue en 0 et w(0)
non c'est dans la définition !!
par contre il faut le dire au moment opportun !!! pour pouvoir conclure ...
Bonjour carpediem !
Si tu regardes wikipedia continuité et valeur en 0 ne sont pas dans la définition générale. En revanche, dans le contexte où est compact la sous-additivité se démontre et implique continuité et valeur en 0.
Bonjour!
Bizarre ! Ton même lien, sur la première ligne donne une condition nécessaire et suffisante où il n'y a pas la continuité !
Beaucoup de textes donnent une définition genre "borne supérieure de |f(x)-f(y)| " puis font démontrer, dans des situations diverses : sous-additif, continuité etc...
Où est la vérité ?
si on regarde l'objectif d'un module de continuité (donné au début du lien) il semble raisonnable de poser par définition :
w est un module de continuité :
w est positif, nul en 0 et continu en 0 (au moins) ....
Ce lien : 
conduit à la même page Wikipedia et montre le début de la page où il y a bien un "si et seulement si" qui, dans mon esprit, est une définition.
Ton lien fait sauter directement à un autre paragraphe : "définition formelle" qui te donne raison ! Et il est, comme tu dis, raisonnable de etc...
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