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propriete d'adjoint

Posté par
Nyadis 01-09-20 à 10:00

Bonjour tout le monde!
une problematique

Il a été défini un evh E. On se donne un endo f sur E. On dit que f est normal si  fof*=f*of . Avec f* qui représente l'adjoint de f.
Je profite pour définir le terme adjoint!  f* est l'adjoint de f ssi ∀x,y∈E <f(x),y>=<x,f*(y)>.

bien ceci dit ma preocupation porte sur le fait que j'aimerais etablir une equivalence entre kerf=kerf* et f normal.
j'ai eu a etablir que f normal → kerf=kerf*
par contre la reciproque me pose un peu de difficulté. merci de vos reactions.

Posté par
carpediemre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 12:17

salut

quelle est la définition d'un opérateur normal ?

Posté par
carpediemre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 12:21

ha pardon tu la donnes

1/ montre que : u est un vecteur propre pour la valeur propre k pour f <=> u est un vecteur propre pour la valeur k* (conjugué de k i tu travailles sur C) pour f*

2/ or Ker f est l'espace propre associé à la valeur propre 0 ...

Posté par
Nyadisre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 14:27

carpediem @ 01-09-2020 à 12:21

ha pardon tu la donnes

1/ montre que : u est un vecteur propre pour la valeur propre k pour f <=> u est un vecteur propre pour la valeur k* (conjugué de k i tu travailles sur C) pour f*

2/ or Ker f est l'espace propre associé à la valeur propre 0 ...


Bien et apres je conclu comment?

Posté par
XZ19re : propriete d'adjoint 01-09-20 à 16:22

Bonjour
Je propose  aussi  :  

si x\in Ker f  alors <f^*(f(x)),x>=...  et c'est terminé.

Posté par
etniopalre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 16:46

    C'est plutôt :  si   f(x) = 0 alors  < f*(x) , f*(x)> = < x , f o f*(x)> = <x , f-of(x)>  = 0

Posté par
etniopalre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 16:47

  ***  ....= .<x , f*of (x)>  = 0

Posté par
XZ19re : propriete d'adjoint 01-09-20 à 16:53

@Etnopial  

Pourquoi c'est plutôt?  

à ma connaissance  x\in Ker f     signifie f(x)=0  

Donc  0=<f^*(f(x)),x>  =<f(f^*(x)),x>=<f^*(x),f^*(x)>=0 .....

Je vois pas où est le problème.

P.S   Les pointillés  c'étaient uniquement pour donner l'indication.

Posté par
etniopalre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 17:12

       Simplement , si on veut montrer que f*(x) = 0  on part de   < f*(x) , f*(x)>

Posté par
XZ19re : propriete d'adjoint 01-09-20 à 17:38

La franchement c'est  de la maniaquerie.  

Posté par
Nyadisre : propriete d'adjoint 01-09-20 à 19:56

merci. Mais vous n'avez pas preté une grande attention a mon probleme! ce sens la je l'avais deja etabli comme j'ai eu a le preciser dans mon propos preleminaire.

donc il est enfait question d'etablir la reciproque..... donc

kerf=kerf* → f normal

Posté par
XZ19re : propriete d'adjoint 01-09-20 à 22:35

Bonjour
Ha oui milles excuses!!!  Mais alors la réciproque est fausse.

Comme par exemple f ayant pour matrice A:

A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)


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