f(zz') = f(z)f(z')
f(i.i)  = (f(i))²
f(-1) = (f(i))²

Si x = -1
f(x) = x -->
f(-1) = -1

Et donc (f(i))² = -1

f(i) = +/- i

f(z+z') = f(z) + f(z')
f(i+i) = f(i) + f(i)
f(2i) = 2.f(i)

f(z+z') = f(z) + f(z')
f(2i+i) = f(2i) + f(i)
f(3i) = 2.f(i) + f(i)
f(3i) = 3.f(i)

...
f(ni) = n.f(i)
-----
f(z+z') = f(z) + f(z')
f(x + z') = f(x) + f(z')
f(x + z') = x + f(z')
f(x + iy) = x + y.f(i)

f(x + iy) = x +/- i.y

En posant z = x + iy

--> f(z) = z et f(z) = z(barre) conviennent.
-----
Sauf distraction.  

bonjour

n'y a-t-il pas une restriction à la démo puisque f(ni)=n.f(i) n'est vrai que pour n entier ?

d'en déduire f(iy)=y.f(i) ne devrait être vrai que pour y entier, et non pou un y quelconque, réel ?

A vérifier
.

Bonjour,

le fait que pour y réel on ait f(iy) = yf(i) découle immédiatement de ce que f(zz')=f(z)f(z') et de ce que f(y)=y.

Le fait que pour tout n entier on ait f(ni)=nf(i) ne permet pas d'aboutir au même résultat:

au mieux, on peut en dédire que la relaton f(iy) = yf(i) est vraie pour y rationnel, mais pour généraliser à R il faut invoquer la densité de Q dans R et disposer d'une hypothèse supplémentaire: la continuité de f.

Tigweg

Ah ben presque en même temps, mikayaou!

La remarque de mikayaou amème à voir si on peut étendre ce qui a été dit pour z quelconque dans C.
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Vérifions si y peut être un réel quelconque pour f(z) = z(barre)

z = x + iy
z' = x' + iy'

z+z' = x+x' + i(y+y')

--> f(z+z') = x+x' - i(y+y')

f(z) = x - iy
f(z') = x' - iy'
f(z) + f(z') = x+x' - i(y+y')
--> on a bien: f(z+z') = f(z) + f(z') qui est OK quels que soit x, y, z  et z'
---
zz' = (x + iy)(x' + iy') = xx' - yy' + i(x'y + xy')

f(zz') = xx' - yy' - i(x'y + xy')

f(z).f(z') = (x - iy).(x' - iy') = xx' - yy' - i(x'y + xy')
--> On a bien f(zz') = f(z)f(z') qui est OK quels que soit x, y, z  et z'
---
L'expression f(x) = x est indépendante de y esy est donc OK aussi si y est un réel quelconque.

Cela montre que f(z) = z(barre) est valable quel que soit z dans C.
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On fait pareil pour l'expression f(z) = z ...

Le fait que f=id et f=-id sont des solutions n'est pas tellement le problème...(c'est assez trivial).

La question est plutôt de savoir si ce sont bien les seules, c'est pour ça qu'on se demande si on a nécessairement pour tout y réel la relation f(iy) = yf(i.

Ce qu'on a dit, c'est simplement que la relation

f(in)=nf(i) ne permet pas de conclure.

en appliquant

f(zz')=f(z)f(z')

z= i et z'=y

f(iy) = f(i)f(y) = yf(i) puisque f(x)=x pour x réel

A vérifier
.

Oui, c'est bien ce que j'ai écrit avant, mikayaou

pardon, ce n'est pas -id mais bien id barre (l'application qui à z associe z barre) que je voulais écrire.

J'ai répondu à la remarque :

"n'y a-t-il pas une restriction à la démo puisque f(ni)=n.f(i) n'est vrai que pour n entier ?

d'en déduire f(iy)=y.f(i) ne devrait être vrai que pour y entier, et non pour un y quelconque, réel"

Et je montre qu'il ne faut pas réduire les relations trouvées aux valeurs entières de la partie imaginaire de z.

Quant à savoir si les expressions trouvées sont bien les seules qui conviennent, je laisse volontiers chercher qui veut ...
En vain j'en ai bien peur.

Mais non, J-P, tu as prouvé plus que tu ne pensais!

Le fait que, sous les hypothèses de l'énoncé, f(i) ne puisse valoir que i ou -i,

combiné au fait que f(x+iy) vaut x+yf(i),

montre bien que f est soit id, soit id barre, donc c'est gagné!!

Le seul point délicat était de prouver que pour tout y réel on avait f(iy) = yf(i),
et tu semblais avoir commencé à le démontrer en partant de y=n entier naturel.
Mais encore une fois, dans ce cas on ne peut pas passer à y réel si aisément...

C'est pour ça qu'on passe par un autre chemin, qui est l'égalité f(zz') = f(z)f(z'), appliquée à z=i zt à z'=y réel

et, pas zt

merci bcp , je vien de comprendre, +++
j'avais deja la réponse f(z) = z mais lotre non
+

Je t'en prie
A +