Bonjour,
Je suis face à une fonction f de dans , où a>0, x0. Je dois montrer que
Je sais que ce résultat est vrai, mais qu'est-ce qui me permet d'affirmer que la composée (par la fct racine) de la limite est la limite de la composée? S'il s'agissait d'une somme ou d'un produit par un scalaire je répondrai que comme f atterrit dans , un EVN, l'opérateur limite est une forme linéaire, mais quid avec la composition par racine ou même la limite du produit de deux fonctions? Est-on obligé de prouver le calcul à la main en utilisant la définition de la limite en un point, ou y a-t-il une théorie qui répond directement?
Bonjour
C'est un résultat général.
Si est une fonction continue au voisinage de , alors
Si tu ne connais pas, il serait bon que tu le démontres, ce n'est pas très difficile.
Ah oui effectivement ça se démontre rapidement. Et ce résultat est donc vrai au moins sur les espaces métriques? ((Je veux dire pour f et g qui prennent et rendent leurs valeurs dans des espaces métriques))
La preuve est particulièrement facile : pour tout ouvert U de l'espace d'arrivée,
.
La continuité de g dit que est un ouvert et la continuité de f dit que est un ouvert aussi. Donc est continue.
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Sinon, pour un espace métrique, si est une distance sur l'espace de départ de f, est une distance sur l'image de f et est une distance sur l'image de g,
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