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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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propriété de l'opérateur limite

Posté par
jbsph
09-12-23 à 15:26

Bonjour,

Je suis face à une fonction f de dans , où a>0, x0. Je dois montrer que

$\lim\limits_{x \to x_{0}}$ f(x) = a \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_{0}} \sqrt{f(x)} = \sqrt{a}

Je sais que ce résultat est vrai, mais qu'est-ce qui me permet d'affirmer que la composée (par la fct racine) de la limite est la limite de la composée? S'il s'agissait d'une somme ou d'un produit par un scalaire je répondrai que comme f atterrit dans , un EVN, l'opérateur limite est une forme linéaire, mais quid avec la  composition par racine ou même la limite du produit de deux fonctions? Est-on obligé de prouver le calcul à la main en utilisant la définition de la limite en un point, ou y a-t-il une théorie qui répond directement?

Posté par
GBZM
re : propriété de l'opérateur limite 09-12-23 à 15:32

Bonjour,
C'est la "composition des limites", avec le fait que y\mapsto\sqrt y est continue sur \mathbb R_+.

Posté par
Camélia Correcteur
re : propriété de l'opérateur limite 09-12-23 à 15:35

Bonjour

C'est un résultat général.
Si g est une fonction continue au voisinage de a, alors

\lim_{x\to x_0}f(x)=a\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}g( f(x))=g(a)

Si tu ne connais pas, il serait bon que tu le démontres, ce n'est pas très difficile.

Posté par
jbsph
re : propriété de l'opérateur limite 12-12-23 à 15:01

Ah oui effectivement ça se démontre rapidement. Et ce résultat est donc vrai au moins sur les espaces métriques? ((Je veux dire pour f et g qui prennent et rendent leurs valeurs dans des espaces métriques))

Posté par
Camélia Correcteur
re : propriété de l'opérateur limite 12-12-23 à 15:10

Oui, il est vrai sur les espaces métriques, et même sur des espaces plus généraux.

Posté par
jbsph
re : propriété de l'opérateur limite 12-12-23 à 15:23

Ok. Merci pour vos réponses !

Posté par
Camélia Correcteur
re : propriété de l'opérateur limite 12-12-23 à 15:28

Posté par
Ulmiere
re : propriété de l'opérateur limite 12-12-23 à 16:58

La preuve est particulièrement facile : pour tout ouvert U de l'espace d'arrivée,

(g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)).

La continuité de g dit que V = g^{-1}(U) est un ouvert et la continuité de f dit que (g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(V) est un ouvert aussi. Donc g\circ f est continue.

----------

Sinon, pour un espace métrique, si d est une distance sur l'espace de départ de f, d_f est une distance sur l'image de f et d_g est une distance sur l'image de g,

Citation :

Soit \varepsilon > 0. Il existe \eta_f(\varepsilon) > 0 tq pour tout x, d(x, x_0) < \eta_f(\varepsilon) \implies d_f(f(x), f(x_0)) < \varepsilon.

De même, g est continue en f(x_0) donc il existe \eta_g(\varepsilon) > 0 tel que pour tout y, d_f(y, f(x_0)) < \eta_g(\varepsilon) \implies d_g(g(y), g(f(x_0))) < \varepsilon.

Si on pose \eta(\varepsilon) = \dfrac{\eta_f(\eta_g(\varepsilon))}{2} alors il est vrai que si x est tel que d(x, x_0) < \eta(\varepsilon), on a d_f(f(x), f(x_0)) < \eta_g(\varepsilon).
En appliquant la continuité de g avec y = f(x), on a bien d_g(g(f(x)), g(f(x_0))) < \varepsilon, d'où la continuité de g\circ f en x_0.



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