Bonjour,

Tout dépend. Quelle est ta définition du logarithme népérien ?

Nicolas

Actuellement dans les programmes de Terminal on définit ln comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

il faut poser que pour tout "a" élément de +* il existe un réel A tel que e^A=a
de même  il existe un réel B tel que e^B=b
ainsi ln(ab)=ln(e^Ae^B)=ln(e^A+B)=A+B
or A=lna et B=lnb

Bonsoir,

Youpi, merci à toi mais, en fait, je cherchais une démonstration qui ne fasse pas intervenir la fonction exponentielle et en vérité je ne sais même pas si une telle démonstration existe. A la limite, c'est la démonstration d'origine que j'aimerais trouver.

Nicolas_75, ma définition du logarithme népérien pourrait se résumé ainsi : fonction réciproque de e(x), ln(e) = 1 et ln x/log x = 2.3...
Je n'ai pas un niveau très élevé en mathématiques, je ne savais pas qu'il y avait plusieurs sortes de logarithmes népériens ce qui doit être le cas puisque tu me demande ma définition de ce logarithme.

En tout cas, merci encore.

il n'y a pas plusieurs sortes de ln mais plusieurs définitions initiales de ln

En fonction de la définition initiale, tu peux déduire certaines propriétés

A contrario, certaines définitions intiales différentes aboutissent à d'autres propriétés

Voilà pourquoi Nicolas te posait la question...

Sauf erreur,

Philoux

En effet.

Pour démontrer des propriétés, il faut savoir de quoi on parle, donc il faut des définitions. Et il en existe plusieurs pour ln, qui aboutissent heureusement au même objet.

Si tu définis ln comme la réciproque de l'exponentielle, Youpi t'a donné la démonstration de la propriété ln(ab)=...

Si tu définis ln comme la primitive de la fonction inverse sur R+* qui s'annule en 1, alors...
Soit f : a -> ln(ab)-ln(a)-ln(b)
f est dérivable sur R+* et
f'(a) = b/ab-1/a=0
Donc f est constante. Or f(1)=0. Donc f est identiquement nulle. CQFD.

Sauf erreur.

Nicolas