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Prouver convergence d'une suite avec le k-lipschitzien
Bonjour.
J'ai (Un) une suite recurrente definie par: U0 € R et Un+1=(4-Un²)/3
Je doit étudier sa convergence, sachant que c'est un exemple d'application d'utilisation des fonctions k-lipschitziennes.
-> Soit (Un) une suite recurrente definie par la relation Un+1=f(Un)
Si I est stable par la fonction f, si a € I est un point fixe de f et si f est k-lipschitzienne sur I avec 0 =< k < 1
On a alors: Pour tout n € N, | Un-a | =< k^n | U0-a | qui prouve la convergence de la suite (Un) vers a.
Je comprend pas ce que veut dire "Si I est stable par la fonction f".
Et je ne voit pas comment prouver qu'elle est k-lipschitzienne.
Merci de votre aide =)
Bonjour
Je savais bien qu'il y avait des indications...
Dire que I est stable, c'est dire que f(I)
I. Donc reprends l'indication que je t'ai donné sur l'autre topic! Je demande que l'on regroupe ces topics, tu es en train de faire du multi-post!
Etude de suites
Si ce n'est pas toi, utilise quand-même les indications...
Ok je regarde, j'avais fais une recherche google avec cette fonction voir si quelqu'un avait déjà posté quelque chose là dessus, mais je n'ai rien trouvé.
Visiblement, quelqu'un de mon IUT l'a déjà fait ^^
Bon j'ai pris I= ]-inf ; +inf [
Apres calcul de la dérivée de f, et tableau de signe, je constate que f(I)= ]-inf ; 0 [ Donc f(I)I.
Pour chosir a, je le prend comment? au hasard?
"a € I est un point fixe de f" il faudrait m'éclairer sur ce que veut dire "point fixe".
salut
a est point fixe de f si il est sa propre image soit f(a)=a
donc a est solution de l'équation f(x)=x
Merci, c'est ce que je pensais. C'est donc 1 dans ce cas.
Bon, reste à prouver que f est k-lip...
Pour tout (x,y) € I², |f(x)-f(y)| =< k|x-y|
Dejà I² c'est quoi ?
J'ai ma réponse: l'ensemble des couples de réels
Hors sujet: il n'y a pas de fonction édition de message sur ce forum ?
Tu ne pouvais pas prendre R tout entier. Le domaine de f est [-2,2]
Non, il n'y a pas d'édition des messages postés. Nous assumons nos bêtises...
???
D'où est ce que le domaine de f est [-2,2] ?
f(x)=(4-x²)3 Pour moi ici le domaine c'est R
Ou alors c'est qu'on ne doit prendre que les valeurs positives? Si c'est ça, pourquoi?
Donc mon domaine est bon?
Si oui, puis-je avoir un peu d'aide pour démontrer que la fonction est k-lipschitzienne, je ne vois pas par où commencer.
Le problème est que la fonction n'est pas lipschitzienne sur tout son domaine. En effet f'(x)=-2x/3 qui n'est pas borné. En revanche elle est lipschitzienne sur des intervalles bornés. Pour [-2,2] regarde la démonstration de Nicolas75 Etude de suites
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