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Prouver l'unicité de la solution d'une équation
Bonjour,
Je viens vous voir aujourd'hui car je ne comprends pas une preuve que nous avons vue en cours. J'ai beau eu insister et demander des explications plus claires au prof, je n'ai toujours pas compris... 
Nous étudions les nombres réels et les axiomes de l'addition et de la multiplication. L'énoncé était le suivant:
Soient . Alors il existe une et une seule solution
de l'équation
.
On doit donc prouver qu'une telle solution existe, et qu'elle est unique. J'ai compris la partie de la preuve concernant l'existence mais pas celle concernant l'unicité.
La preuve de mon prof (pour l'unicité) est la suivante:
Soit x une solution de l'équation a+x = c.
On va montrer que x=a'+c. (NB: a' est l'élément inverse de a par rapport à l'addition)
Si a+x = c, alors a'+(a+x) = a'+c = (a'+a)+x = 0+x = x.
...Et c'est la fin de sa preuve. Je comprends quels axiomes il a utilisé pour arriver à son x, mais je ne comprends pas pourquoi cela prouve que ce x est unique. Pour moi, cela prouve juste qu'il existe un x qui vaut a'+c. ça ne prouve pas qu'il n'existe pas d'autre x tel que l'égalité a+x=c soit vérifiée.
Voilà voilà... j'espère que vous pourrez m'aider un peu. Merci d'avance en tout cas. 
Bonjour Suprdyn
Effectivement, si l'équation admet deux solutions s et s'.
Alors forcément a + s = c et a + s' = c.
Donc a + s = a +s' d'où s = s'.
Bonjour Supradyn,
tu peux aussi utiliser un autre raisonnement bien classique : l'analyse-synthèse. L'idée est la suivante : Tu cherches tous les réels qui verifient l'équation (de la variable réelle x)
où les constantes réelles a et c sont supposées connues. Après un calcul fou tu trouves que nécessairement
. Il n'y a donc qu'au plus un seul réel satisfaisant cette équation et ce réel c'est c - a. Tous les autres (c - a + 42, c - a - 12 par exemple) ne seront pas solution. Tu as donc l'unicité en cas d'existence. Cette étape s'appelle "l'analyse".
Mais a priori rien ne dit que c - a est solution. Tu as juste montré que si une solution existait alors ce ne pouvait qu'être c - a. C'est subtile...
Ensuite, tu vérifies qu'effectivement c - a est solution de l'équation initiale. Donc le réel c - a est bien solution. Tu as l'existence et l'unicité. C'est la "synthèse".
Sur un exemple comme ça c'est très simple mais ce qu'il faut comprendre c'est le raisonnement. L'analyse-synthèse te permet ce qu'on appelle une caractérisation et te donnera par conséquent toujours l'unicité si c'est ce qu'on te demande.
salut
l'analyse-synthèse ... MDR ...
il aurait été intéressant de nous montrer la preuve de l'existence ...
soit x une solution de l'équation a + x = c
on va noter tout simplement -a l'inverse de a pour l'addition puisque c'est l'addition
a + x = c <=> (-a) + a + x = (-a) + c <=> 0 + x = c - a <=> x = c - a
tout cela démontre que si x est solution alors sa valeur est c - a
je n'ai trouvé qu'une valeur solution donc il y a unicité de la solution
et je pense que la démonstration est très mal rédigée : il aurait fallu travailler par équivalence (ou du moins des implications) comme je l'ai fait
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