bonjour,
j'ai fait un ex corrigé et à la question prouver que f est bijective le corrigé propose de trouver directement f-1 et de dire : puisque f-1 existe alors f est bijective.
est-ce possible de faire ça? cad trouver f-1 et en conclure que f est bijective ?
de plus, pourriez-vous m'indiquer en résumé toutes les façons de prouver qu'une fonction est bijective (je connais : grâce à kerf f, matrice inversible)
merci
Salut, pour prouver qu'une fonction est bijective, on est d'accord que la méthode de base est de montrer qu'elle est injective et surjective.
Certaines fois, il est facile de trouver l'inverse d'une fonction
, et alors si on vérifie que
(s'il y a commutativité, sinon on parle d'inverse à gauche ou à droite), on en déduit que
est la réciproque de
, et donc en effet que
est bijective.
Enfin, pour les applications linéaires (et pas n'importe quelle fonction), il y a des critères plus pratiques : si est une application linéaire, alors
- est injective ssi
- est surjective ssi
- Si est de dimension finie et
, alors
est injective ssi
est surjective ssi
est bijective
Lorsqu'on travaille avec et
de dimensions finies, si on note
la matrice de
dans des bases de
et
, on aura
- est injective ssi
- est surjective ssi
et donc
- est bijective ssi
c'est-à-dire
est une matrice carrée avec
Bonjour !
Un simple conseil, en passant.
A moins qu'une autre démarche ne soit imposée, il vaut mieux commencer par essayer d'établir la surjectivité car il peut arriver qu'on montre, en même temps, l'unicité de l'antécédent ce qui termine la démonstration.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :