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Niveau Licence Maths 1e ann
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prouver qu'un fonction est bijective

Posté par
jacqueadhi
23-12-15 à 11:01

bonjour,
j'ai fait un ex corrigé et à la question prouver que f est bijective le corrigé propose de trouver directement f-1 et de dire : puisque f-1 existe alors f est bijective.
est-ce possible de faire ça? cad trouver f-1 et en conclure que f est bijective ?
de plus, pourriez-vous m'indiquer en résumé toutes les façons de prouver qu'une fonction est bijective (je connais : grâce à kerf f, matrice inversible)
merci

Posté par
francois5
re : prouver qu'un fonction est bijective 23-12-15 à 11:24

Salut, pour prouver qu'une fonction est bijective, on est d'accord que la méthode de base est de montrer qu'elle est injective et surjective.

Certaines fois, il est facile de trouver l'inverse f^{-1} d'une fonction f, et alors si on vérifie que f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f = id (s'il y a commutativité, sinon on parle d'inverse à gauche ou à droite), on en déduit que f^{-1} est la réciproque de f, et donc en effet que f est bijective.

Enfin, pour les applications linéaires (et pas n'importe quelle fonction), il y a des critères plus pratiques : si f : E \rightarrow F est une application linéaire, alors
- f est injective ssi Ker(f)=\{ 0 \}
- f est surjective ssi Im(f)=F
- Si E est de dimension finie et dim(E)=dim(F), alors f est injective ssi f est surjective ssi f est bijective

Lorsqu'on travaille avec E et F de dimensions finies, si on note M la matrice de f dans des bases de E et F, on aura
- f est injective ssi rg(M)=dim(E)
- f est surjective ssi rg(M)=dim(F)
et donc
- f est bijective ssi rg(M)=dim(E)=dim(F) c'est-à-dire M est une matrice carrée avec det(M) \neq 0

Posté par
luzak
re : prouver qu'un fonction est bijective 23-12-15 à 14:34

Bonjour !
Un simple conseil, en passant.
A moins qu'une autre démarche ne soit imposée, il vaut mieux commencer par essayer d'établir la surjectivité car il peut arriver qu'on montre, en même temps, l'unicité de l'antécédent ce qui termine la démonstration.

Posté par
jacqueadhi
re : prouver qu'un fonction est bijective 23-12-15 à 19:24

je vous remercie pour ces explications



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