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Prouver qu'un nombre complexe est un imaginaire pur
Bonjour,
J'ai dans un devoir une question portant sur les nombres complexes à laquelle je n'arrive pas à répondre.
La voici:
Si z est un nombre complexe de module 1, est un imaginaire pur.
Cela fait un moment que j'essaye de trouver une soution à cette question.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
.
Bonjour, ça s'écrit z-1/z, le plus simple est de poser z=x+iy et de regarder si z-1/z est un imaginaire pur ou pas.
Bonjour blenderiste09
Remplace z par x+iy dans ton expression de départ ou dans celle donnée par Glapion.
multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué (x-iy) pour "supprimer" le terme imaginaire du dénominateur et ainsi pourvoir regrouper la partir Réelle et la partie Imaginaire.
Ensuite simplifie en utilisant le fait que x²+y²=1 et (sauf erreur de ma part) tu constateras que la partie Réelle vaut bien 0 et que la partie Imaginaire vaut
Pour moi : proposition vraie
salut
en notant z* le conjugué de z alors :
z est imaginaire pur <==> z* = -z
....
ici
(z*2 - 1)z = -(z2 - 1)z* <==> ....
un autre moyen, élégant aussi :
la partie réelle de z-1/z c'est z-1/z plus son conjugué donc (car
) et donc c'est bien un imaginaire pur puisque sa partie réelle est nulle.
Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses rapides.
le plus simple est de poser z=x+iy et de regarder si z-1/z est un imaginaire pur ou pas
Remplace z par x+iy dans ton expression de départ ou dans celle donnée par Glapion.
multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué (x-iy) pour "supprimer" le terme imaginaire du dénominateur et ainsi pourvoir regrouper la partir Réelle et la partie Imaginaire.
Ensuite simplifie en utilisant le fait que x²+y²=1
J'ai essayé plusieurs fois mais je suis tombé à chaque fois sur un très gros nombre.
alainpaul -> Je n'y avais pas pensé ! Du coup j'ai pu terminer mon devoir !
Merci a tous.
A bientot
Blenderiste09
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