Niveau Maths sup

prouver que e est irrationnel

Posté par
stell 28-01-16 à 23:40

Bonsoir !
Dans un exercice je dois prouver que e est irrationnel avec pour tout n $\in$ $\mathbb{N}$ I_n = $\int_0^{1}$ xⁿe^1-xdx
et u_n = n!e - I_n

J'ai montré que 1/(n+1) $\le$ I_n $\le$ e/(n+1) mais je ne sais pas quoi faire ensuite, je n'arrive pas à prouver que n!e n'est pas un entier.

Posté par re : prouver que e est irrationnel 29-01-16 à 01:37

Bonjour stell

Regarde

Posté par re : prouver que e est irrationnel 29-01-16 à 08:11

C'est possible de ne pas utiliser de sommes mais juste la suite donnée dans l'exercice ?

Posté par re : prouver que e est irrationnel 29-01-16 à 09:01

Et si tu nous en disais plus sur l'énoncé de cet exercice ?

Posté par re : prouver que e est irrationnel 29-01-16 à 11:07

Bonjour,

On peut prouver que $u_n=n!\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)$ (par exemple par récurrence).

$u_n$ est donc un entier.

Supposons que $e=\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers.

Pour $n\geq b$ , $n!e$ est un entier; on en déduit $I_n$ est un entier.

Or pour $n\geq 2$ , $0<I_n<1$

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