Bonjour.
Le plus accessible est de poser f(x)=ln(1+x)-x et d'étudier son signe avec un tableau de variations pour constater qu'elle est négative.
Le plus rapide est certainement de dire que ln est concave, donc
En particulier avec a=1, on obtient l'inégalité demandée.
Une autre manière, plus compliquée, mais qui a le mérite de ne pas partir de la solution, est d'écrire le développement en série entière de ln :
, le deuxième terme étant une somme de série alternée, donc de signe donné par le premier terme de la somme, à savoir -x²/2, toujours négatif, d'où l'inégalité, ici valable sur ]-1,1] car le DSE se fait sur cet intervalle.