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Pseudo Inverse

Posté par
Molotov79 18-05-22 à 04:13

Bonsoir  chers membres de l'île ,
je voudrais de l'aide pour mon exercice que voici :

Exercice:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, soit f et g 2 endomorphismes de E tels que:
(1) fogof=f
(2) gofog=g
(3) rg(f)=rg(g).

Sachant que si 2 de ces conditions sont réalisés alors la troisiéme l'est montrer alors l'existence d'un endomorphisme g verifiant les 3 conditions à la fois .

Je bloque dessus depuis 2 jours aidez moi SVP


Merci pour votre attention .

Posté par
verdurinre : Pseudo Inverse 18-05-22 à 08:27

Bonjour,
tu peux penser à des projecteurs sur le même sous espace.

Posté par
Camélia Correcteurre : Pseudo Inverse 18-05-22 à 09:15

Bonjour

Quelque chose m'échappe! On ne peut pas prendre g=f?

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 12:31

Bonjour ,
Puis-je avoir un début de raisonnement SVP ?

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 13:12

Bonjour,
Je pense que f est donné, et qu'il suffit trouver g qui vérifie deux de ces conditions.

Une piste :

Tu supposes que g existe et tu montres que $Im$ f\oplus \ker g=E, puisque l'on connait $Im$ f, il existe une base \{f_1,\cdots,f_p\} qui engendre $Im$ f et tu complètes avec \{f_{p+1},\cdots,f_n\} pour avoir une base de E et on a Vect\{f_{p+1},\cdots,f_n\}=\ker g il reste plus qu'a terminer la construction de g de tel sorte que f(Img)=Im f

Or on sait aussi que $Im$ g\oplus \ker f=E, on connait f donc on connait une base de \ker f, c'est \{f'_1,\cdots,f'_{n-p}\}, on complète pour avoir une base de E avec \{f'_{n-p+1},\cdots f'_n\}

Ensuite il suffit de poser g(f_1)=f'_{n-p+1};\;\cdots ;\;g(f_p)=f'_n et ensuite g(f_i)=0 pour i>p

C'est juste une idée, et je l'ai mal rédigé

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 14:10

Salut Molotov79 , tu es en quelle année et quelle école d'ingé.

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 17:39

Bonjour , en effet je viens de voir la correction dans un livre

voici la correction dont certaines choses me paraissent floues dans ma tête

Correction:
supposons que (2) et (3) soit verifie alors pour tout y de Img on a g(f(y))=y ainsi l'image de g doit etre en somme directe avec le Ker(f)
et pour avoir (3) l doit même s'agir d'un supplementaire de Ker(f)
alors l'application f' :x F|-->f(x) Imf est un isomorphisme . Soit G un supplementaire de Imf alors il existe un endomorphisme g dans Imf etant l'inverse de f'et g(G)=0 alors on a l'égalité Img=Im(f'-1)=F ainsi rg(f)=dimF=rg(f)

ensuite il est facile de montrer que (2) est verifié


mes questions:

1-Pourquoi on prend G un supplementaire de Imf
2-Pourquoi on prend un supplementaire de Ker(f)

je voudrais en effet savoir l'esprit

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 17:57

C'est un exercice compliqué.

Soit f\in L(E), et on va montrer qu'il existe g\in L(E) tel que f\circ g\circ f=f, g\circ f\circ g=g et \dim f(E)=\dim g(E)

On remarque que s'il existe x\in E-\ker f tel que f(x)\in \ker g, on aurait f\circ g\circ f(x)=0\ne f(x), donc \ker g\cap f(E)=\{0\}

Vérifions que E=\ker g\oplus f(E)

Soit x\in E et supposons qu'il existe x_1\in f(E) et x_2\in \ker g tels que x=x_1+x_2

g(x)=g(x_1+x_2)=g(x_1) mais puisque x_1\in f(E), il existe t\in E tel que x_1=f(t)

Ainsi g(x)=g(x_1)=g\circ f(t) et f\circ g(x)=f\circ g \circ f(t)=f(t)=x_1

Ainsi x_1=f\circ g(x) et x_2=x-f\circ g(x)

Montrons que x_2\in \ker g : g(x-f\circ g(x))=g(x)-g\circ f\circ g(x)=g(x)-g(x)=0

Montrons que x_1\in f(E): x_1=f\circ g(x)\in f(E), on a vu que \ker g\cap f(E)=\{0\}, par conséquent E=\ker g\oplus f(E)

par symétrie on a E=\ker f\oplus g(E)

Le théorème du rang nous dit que f(E) et g(E) on même dimension.

Il faut construire une application g\;:E=\ker g\oplus f(E)\rightarrow E=\ker f\oplus g(E)

Montrons que g(f(E))=g(E), soit y\in g(E), il existe x\in E tel que y=g(x),  et il existe x_1\in f(E), x_2\in \ker g tel que x=x_1+x_2. Ainsi on a y=g(x_1)+g(x_2)=g(x_1) \\ , or x_1\in f(E), donc y\in g(f(E)). L'autre inclusion est triviale.


Maintenant on a tous ce qui faut pour construire g, connaissant f, en utilisant le diagramme en 1) et la proposition en 2) :

1) g\;:E=\ker g\oplus f(E)\rightarrow E=\ker f\oplus g(E)

2)  g(f(E))=g(E)

Posté par
carpediemre : Pseudo Inverse 18-05-22 à 18:38

salut

si f et g sont telles que f o g o f = f et g o f o g = g alors :

g o (f o g o f) = g o f <=> (g o f)2 = go f donc g o f est un projecteur

et de même pour f o g ...

de f o g o f = f <=> (f o g) (f(x)) = f(x) on en déduit que Im f = Im (f o g)

...

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 18:44

En effet c'est tiré d'un oral de Polytechnique

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 19:11

Molotov79 @ 18-05-2022 à 17:39

Bonjour , en effet je viens de voir la correction dans un livre

voici la correction dont certaines choses me paraissent floues dans ma tête

Correction:
supposons que (2) et (3) soit verifie alors pour tout y de Img on a g(f(y))=y ainsi l'image de g doit etre en somme directe avec le Ker(f)
et pour avoir (3) l doit même s'agir d'un supplementaire de Ker(f)
alors l'application f' :x F|-->f(x) Imf est un isomorphisme . Soit G un supplementaire de Imf alors il existe un endomorphisme g dans Imf etant l'inverse de f'et g(G)=0 alors on a l'égalité Img=Im(f'-1)=F ainsi rg(f)=dimF=rg(f)

ensuite il est facile de montrer que (2) est verifié


mes questions:

1-Pourquoi on prend G un supplementaire de Imf

Car g est définit sur E, et on veut g(imf)=im f et g(G)={0}
2-Pourquoi on prend un supplementaire de Ker(f),

Car on ne veut pas que g(im f) intersecte Ker f, supposons que ce soit le cas, il existe x dans im f tel que fg(x)=0 donc gfg(x)=0=g(x)0




je voudrais en effet savoir l'esprit

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 19:18

Pour mousse42 ,est-ce obligé d'avoir une demonstration aussi longue

Pour carpediem oui je sais que Im(fog)=Im(f) et aussi on a Im(gof)=Im(g) ainsi rg(fog)=rg(gof)

oui mais cela sera utilisé comment ?

Posté par
carpediemre : Pseudo Inverse 18-05-22 à 19:26

pour l'instant je ne vois pas ... mais il doit y avoir un truc !!!

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 18-05-22 à 19:34

Molotov79 @ 18-05-2022 à 19:18

Pour mousse42 ,est-ce obligé d'avoir une demonstration aussi longue

Pour carpediem oui je sais que Im(fog)=Im(f) et aussi on a Im(gof)=Im(g) ainsi rg(fog)=rg(gof)

oui mais cela sera utilisé comment ?


Si j'avais le choix entre une démo longue et une autre courte, je t'aurais proposé la moitié de la somme des deux.
Pour le cinéma certain préfère la version longue, mais pour les math je ne pense pas.

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 23-05-22 à 22:09

j'ai comme l'impression que vous avez deserté cet exercice ... moi en tout cas je souffre avec

Posté par
mousse42re : Pseudo Inverse 24-05-22 à 09:01

Salut,


Dans la correction que tu proposes, as-tu compris que f est un isomorphisme de G vers f(E) tel que G et \ker f soient supplémentaires dans E?
Il faut également que E=\ker f\oplus g(E)

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 24-05-22 à 15:21

Non justement je n'ai pas compris cela sert à quoi

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 24-05-22 à 15:24

Tout ce que je sais c'est que si F et Ker(f) sont supplementaires alors
f induit un isomorphisme de F vers Im(f)

Posté par
Molotov79re : Pseudo Inverse 24-05-22 à 15:29

Oui je viens de voir mais pourquoi E=kerfg(E)

Posté par
GBZMre : Pseudo Inverse 24-05-22 à 15:40

Bonjour,

Notons F l'image de f, G celle de g. Alors f induit une application linéaire \varphi : G\to F et g une application linéaire \gamma : F\to G.
Montrer les équivalences suivantes :
1) équivaut à \varphi\circ\gamma = \mathrm{Id}_F
2) équivaut à \gamma\circ\varphi=\mathrm{Id}_G
3) équivaut à \dim(F)=\dim(G).

Conclure que deux quelconques des trois propriétés entraînent la 3e.

Posté par
GBZMre : Pseudo Inverse 24-05-22 à 17:51

Après, pour la construction d'un g vérifiant les trois propriétés (deux suffisent) quand f (et donc aussi son image F) est donné, on peut bricoler avec des bases :
Soit (x_1,\ldots,x_{n-r}) une base de \ker(f) que l'on complète en une base (x_1,\ldots, x_{n-r},y_1,\ldots,y_r) de E. Soit G=\mathrm{vect}(y_1,\ldots,y_r).
1°) Montrer que f induit un isomorphisme \varphi de G sur F
2°) Construire un endomorphisme g de E d'image G dont la restriction à F est \varphi^{-1} : F\to G. (On pourra pour ce faire compléter (f(y_1),\ldots,f(y_r)) en une base de E).


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