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pti exo avec la règle de l'Hospital
Soient f et g deux fonctions d'un intervalle [a,b] de R vers R, continues sur [a,b], dérivables sur]a,b[ et telles que g' ne s'annule pas sur ]a,b[.
1)Montrer que (M.q)il existe un réel c
]a,b[ tel que:
On pourra appliquer le théorème de Rolle à:
v(x)=[f(x)-f(a)].[g(b)-g(a)]-[f(b)-f(a)].[g(x)-g(a)]
--> je ne voit pas du tout comment il faut faire.
2) M.q si alors
(c'est la lim en a)
--> je l'ai démontré grâce au taux d'accroissement! Mais je tombe sur lim et j'ai déduit que
! Enfaite ça me parait logique mais est-ce que je doit le justifier? si oui comment?
3) donner la lim en 0 de puis de
--> la première ça va je trouve 1/2 en appliquant la règle de l'hospital! mais pour la deuxième
??
f(x) = (sh(x) - x)/x³
lim(x-> 0) f(x) est de la forme 0/0 --> Règle de Lhospital.
= lim(x-> 0) (ch(x) - 1)/(3x²) est de la forme 0/0 --> Règle de Lhospital.
= lim(x-> 0) (sh(x)/(6x) est de la forme 0/0 --> Règle de Lhospital.
lim(x-> 0) ch(x)/6 = 1/6
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Salut ...
1.v est clairement continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
De plus v(a) = v(b) = 0
D'apres le theoreme de Rolle il esiste c appartenant a ]a,b[ tel que v'(c) = 0
Or pour x appartenant a ]a,b[,
v'(x) =[f'(x)].[g(b)-g(a)]-[f(b)-f(a)].[g'(x)]
Donc :
v'(c) =[f'(c)].[g(b)-g(a)]-[f(b)-f(a)].[g'(c)] = 0
et puis que g'(c)<>0, on a
merci Matouille2b! Par contre je ne comprend pas très bien votre réponse J-P. Enfaite je ne voit pas comment vous appliquez la règle de l'hospital! Avec ch(x)-1/x^2 ça marchait parcequ'on reconnaît la forme f(x)-f(a)/g(x)-g(a) mais je ne voit pas comment appliquer cette règle à sh(x)-x/x^3??
On pose a=x, b=0, f(x) = ch(x) et g(x) = x^2
f et g vérifient les hypothéses du pb
Donc :
Et on recommence avec les fonctions :
f(x) = sh(x) et g(x) = 2x
et qd x tend vers 0, on a tend vers 0, et
tend vers 0
donc lim h(x) = 1/2
Comprendre ce qui a été démontré.
Si f(x) = u(x)/v(x) avec u(x) et v(x) dérivable en a,
si lim(x-> a) u(x) = 0 et lim(x-> a) u(x) = 0, alors on a:
lim(x -> a) [u(x)/v(x)] = lim(x -> a) [u'(x)/v'(x)]
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Si on applique cela à :
lim(x-> 0) [(sh(x) - x)/x³], on a
lim(x-> 0) [(sh(x) - x)] = 0 et lim(x-> 0) [x³] = 0
-->
On a lim(x-> 0) [(sh(x) - x)/x³], = lim(x-> 0) [(sh(x) - x)'/(x³)']
= lim(x-> 0) [(ch(x) - 1)/(3x²)]
Et de nouveau on a lim(x-> 0) (ch(x) -1) = 0 et lim(x-> 0) [3x²] = 0
-->
On a lim(x-> 0) [(ch(x) - 1)/(3x²)] = lim(x-> 0) [(ch(x) - 1)'/(3x²)']
= lim(x -> 0) [sh(x) / 6x]
Et de nouveau on a On a lim(x-> 0) h(x) = 0 et lim(x->0) 6x = 0
-->
On a lim(x -> 0) [sh(x) / 6x] = lim(x -> 0) [sh'(x) / (6x)']
= lim(x -> 0) [ch(x) / 6] = 1/6
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